多重背包（模板）--hdoj2191

前几天遇到过多重背包，不太会，没做，今天又遇到了，有必要学一下

一种好想好写的基本方法是转化为01背包求解：把第i种物品换成n[i]件01背包中的物品，则得到了物品数为Σn[i]的01背包问题，直接求解，复杂度仍然是O(V*Σn[i])。

但是我们期望将它转化为01背包问题之后能够像完全背包一样降低复杂度。仍然考虑二进制的思想，我们考虑把第i种物品换成若干件物品，使得原问题中第i种物品可取的每种策略——取0..n[i]件——均能等价于取若干件代换以后的物品。另外，取超过n[i]件的策略必不能出现。

方法是：将第i种物品分成若干件物品，其中每件物品有一个系数，这件物品的费用和价值均是原来的费用和价值乘以这个系数。使这些系数分别为1,2,4,...,2^(k-1),n[i]-2^k+1，且k是满足n[i]-2^k+1>0的最大整数。例如，如果n[i]为13，就将这种物品分成系数分别为1,2,4,6的四件物品。

分成的这几件物品的系数和为n[i]，表明不可能取多于n[i]件的第i种物品。另外这种方法也能保证对于0..n[i]间的每一个整数，均可以用若干个系数的和表示，这个证明可以分0..2^k-1和2^k..n[i]两段来分别讨论得出，并不难，希望你自己思考尝试一下。

这样就将第i种物品分成了O(log n[i])种物品，将原问题转化为了复杂度为O(V*Σlog n[i])的01背包问题，是很大的改进。

下面给出O(log amount)时间处理一件多重背包中物品的过程，其中amount表示物品的数量：

procedure MultiplePack(cost,weight,amount)

    ifcost*amount>=V

       CompletePack(cost,weight)

       return

   integer k=1

   while k<num

       ZeroOnePack(k*cost,k*weight)

       amount=amount-k

       k=k*2

   ZeroOnePack(amount*cost,amount*weight)

下面是代码，我觉得可以作为这类问题的模版：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
int cost[110],weight[110],amount[110],f[110];
int t,n,m;
void ZeroOnePack(int cost,int weight)
{
    int i;
    for(i=n; i>=cost; i--)
    {
        f[i] = max(f[i],f[i-cost]+weight);
    }
}
void CompletePack(int cost,int weight)
{
    int i;
    for(i=cost; i<=n; i++)
    {
        f[i] = max(f[i],f[i-cost]+weight);
    }
}
void MultiplePack(int cost,int weight,int amount)
{
    if(n <= cost*amount)
    {
        CompletePack(cost,weight);
        return;
    }
    else
    {
        int k = 1;
        while(k<amount)
        {
            ZeroOnePack(k*cost,k*weight);
            amount = amount - k;
            k = k*2;
        }
        ZeroOnePack(amount*cost,amount*weight);
    }
}
int main()
{
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        memset(f,0,sizeof(f));
        cin>>n>>m;
        for(int i=1; i<=m; i++)
            cin>>cost[i]>>weight[i]>>amount[i];
        for(int i=1; i<=m; i++)
            MultiplePack(cost[i],weight[i],amount[i]);
        cout<<f[n]<<endl;
    }
    return 0;
}