汉诺塔II（hdu1207）经典递推

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#汉诺塔II #hdu1207 #递推

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本文深入探讨了汉诺塔问题的解决策略，特别关注于引入第四根柱子后，如何减少移动圆盘所需的步骤。通过数学分析和算法设计，揭示了解决方案的优化过程。

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汉诺塔II

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Problem Description

经典的汉诺塔问题经常作为一个递归的经典例题存在。可能有人并不知道汉诺塔问题的典故。汉诺塔来源于印度传说的一个故事，上帝创造世界时作了三根金刚石柱子，在一根柱子上从下往上按大小顺序摞着64片黄金圆盘。上帝命令婆罗门把圆盘从下面开始按大小顺序重新摆放在另一根柱子上。并且规定，在小圆盘上不能放大圆盘，在三根柱子之间一回只能移动一个圆盘。有预言说，这件事完成时宇宙会在一瞬间闪电式毁灭。也有人相信婆罗门至今仍在一刻不停地搬动着圆盘。恩，当然这个传说并不可信，如今汉诺塔更多的是作为一个玩具存在。Gardon就收到了一个汉诺塔玩具作为生日礼物。
　　Gardon是个怕麻烦的人（恩，就是爱偷懒的人），很显然将64个圆盘逐一搬动直到所有的盘子都到达第三个柱子上很困难，所以Gardon决定作个小弊，他又找来了一根一模一样的柱子，通过这个柱子来更快的把所有的盘子移到第三个柱子上。下面的问题就是：当Gardon在一次游戏中使用了N个盘子时，他需要多少次移动才能把他们都移到第三个柱子上？很显然，在没有第四个柱子时，问题的解是2^N-1，但现在有了这个柱子的帮助，又该是多少呢？

Input

包含多组数据，每个数据一行，是盘子的数目N(1<=N<=64)。

Output

对于每组数据，输出一个数，到达目标需要的最少的移动数。

Sample Input

Sample Output

一题比较经典的题；

思路：

首先我们会想到，三柱汉诺塔需要借助另一个柱子存放前n-1个盘子，再把第n个盘子移动到目的位置。

顺其自然的，四柱汉诺塔由于多了一个柱子，我们可以多留下一个盘子n-2，而不让它借位到其他柱子直接移动到目的位置。

算法的基本流程：

（1）从A借助C、D将 n-2个盘子移动到B上。

（2）将第n-2个盘子移动到C上。 (盘子从上到下编号0,1,2,3,4......,n-2,n-1)

（3）将第n-1个盘子移动到D上。

（4）将第n-2个盘子移动到D上。

（5）从B借助A、C将 n-2个盘子移动到D上。

按照以上设计的算法流程，我们得到递归方程：F(n)=2*F(n-2)+3。

因此得到移动步数为：F(n)=4*2^(n/2)-3：n为奇数；F(n)=6*2^(n/2-1)-3：n为偶数。

那到底对不对呢？？？

经过验证，显然是有问题的。不信你代入n=12 看看结果是什么就知道了。但是不管怎么样有这样的想法思路是好的；

分析：设F[n]为所求的最小步数，显然，当n=1时，F[n]=1;当n=2时，F[n]=3;如同经典汉诺塔一样，我们将移完盘子的任务分为三步：

（1）将x(1<=x<=n)个盘从a柱依靠b,d柱移到c柱，这个过程需要的步数为F[x];

（2）将a柱上剩下的n-x个盘依靠b柱移到d柱（注：此时不能够依靠c柱，因为c柱上的所有盘都比a柱上的盘小）

些时移动方式相当于是一个经典汉诺塔，即这个过程需要的步数为2^(n-x)-1（证明见再议汉诺塔一）；

（3）将c柱上的x个盘依靠a,b柱移到d柱上，这个过程需要的步数为F[x];

第（3）步结束后任务完成。

故完成任务所需要的总的步数F[n]=F[x]+2^(n-x)-1+F[x]=2*F[x]+2^(n-x)-1;但这还没有达到要求，题目中要求的是求最少的步数，易知上式，随着x的不同取值，对于同一个n，也会得出不同的F[n]。即实际该问题的答案应该min{2*F[x]+2^(n-x)-1},其中0<x<n;

转载请注明出处：寻找&星空の孩子

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1207

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#define LL unsigned __int64
#define mmax 0x7fffffff
using namespace std;

LL ans[65];
LL ppow(LL a,LL b)
{
    LL c=1;
    while(b)
    {
        if(b&1) c=c*a;
        a=a*a;
        b>>=1;
    }
    return c;
}
void hanoi()
{
    ans[0]=0;
    ans[1]=1;
    ans[2]=3;
    for(int i=3;i<=64;i++)
    {
        ans[i]=mmax;
        for(int x=1;x<i;x++)
        {
            ans[i]=min(ans[i],(2*ans[x]+ppow(2,i-x)-1));
        }
    }
}
int main()
{
    int n;
    hanoi();
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        printf("%I64u\n",ans[n]);
    }
    return 0;
}