动态规划法(三)——最长公共子序列

问题描述

给定两个序列，求出它们的最长公共子序列。
如：序列X={a,b,c,b,d,a,b}，Y={b,d,c,a,b,a}，则X和Y的最长公共子序列为{b,c,b,a}

• 子序列：子序列为原序列的一个子集，并不要求连续，但要求子序列中元素的顺序和原序列元素的顺序一致。

定理

设两个序列分别是X={x1,x2……,xm}，Y={y1,y2……,yn}，它们的最长公共子序列为Z={z1,z2,……,zk}。

1. 若xm=yn，则先求Xm-1和Yn-1的最长公共子序列，再在其尾部加上xm即可得Xm和Yn的最长公共子序列。
2. 若xm!=yn，则必须分别求Xm、Yn-1和Xm-1、Yn的最长公共子序列，其中较长者就是Xm和Yn的最长公共子序列。

数据结构

• c[i][j]：
  用来记录Xi和Yj的最长公共子序列的长度。

• s[i][j]：
  用来标识Xi和Yi的最长公共子序列是由哪种情况得来：c[i][j-1]、c[i-1][j]、c[i][j]+1。
  该数组能还原出最长公共子序列。

算法思路

1. 生成c数组和s数组所有元素

1. 将c数组的第0行、第0列初始化为0；
2. 从c数组的第一行、第一列开始，依次从左向右、从上到下填充元素值：
   a）若x[i]==y[j]，则c[i][j]=c[i-1][j-1]+1，