动态规划法(二)——弗洛伊德算法

问题描述

给定一个带权有向图，计算任意两结点间的最短路径。

迪杰斯特拉算法可以计算指定起点到所有结点的最短路径长度，因此分别对每个结点使用一次迪杰斯特拉算法即可求的任意两结点间的最短路径。迪杰斯特拉算法的时间复杂度为O(n^2)，因此采用这种方法的时间复杂度为O(n^3)。
但是，迪杰斯特拉算法不允许权值为负数，因此需要使用弗洛伊德算法。
弗洛伊德算法允许权值为负数的边，但不允许回路的路径长度为负数。因为，若回路长度为负数，那么走一次回路，路径长度一定比上一次小，故这个问题就没有意义了。

数据结构

图的邻接表数据结构请参见：图的邻接表示法Java版

• dis：

  Map<String, Map<String,Integer>> dis;

  这是一个二维数组，存储两个结点间的最短路径长度。
  Map中的key表示起点的编号；
  Map中的value是一个Map< String,Integer>类型的集合，表示以key为起点、指定结点为终点的最短路径长度集合。

• path：

  Map<String,Map<String,String>> path;

  这也是一个二维数组，存储最短路径中，终点的前驱结点编号。

算法思路