《实时碰撞检测算法技术》读书笔记（八）：平面与部分形体间的测试

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本文介绍了几何体（包括球体、盒体、锥体等）与平面相交的数学测试方法，通过计算距离及半径来判断是否相交，并提供了具体的代码实现。

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球体与平面间的测试

令球体S中心位置为C，半径为r，且平面P由方程（n·X）=d定义，其中n为单位向量，即|n|=1.将球心代入平面方程，结果为球心距平面的有符号距离。

球体是否与平面相交

//Determine whether plane p intersects sphere s
bool TestSpherePlane(Sphere s, Plane p) 
{
　　　//For a normalized plane (|p.n|=1),evaluating the plane equation
　　　//for a point gives the signed distance of the point to the plane
　　　float dist = Dot(s.c, p.n) – p.d;
　　　//If sphere center within +/- radius from plane, plane intersects sphere
　　　return Abs(dist) <= s.r;
}

球体是否完全位于平面背面

//Determine whether sphere s is fully behind (inside negative half space of) plane p
bool InsideSpherePlane(Sphere s, Plane p)
{
　　　float dist = Dot(s.c , p.n) - p.d;
　　　return dist < -s.r;
}

球体是否与平面负半空间相交

//Determine whether sphere s intersects negative half space of p
bool TestSphereHalfspace(Sphere s, Plane p)
{
　　　float dist = Dot(s.c, p.n) - p.d;
　　　return dist <= s.r;
}

盒体与平面间的测试

令平面P由方程(n·X) = d定义,则盒体B与平面P的相交测试可以采用分离轴测试，且只需测试与平面法向量n平行的轴即可。如下图：

判断OBB与平面是否相交只需判断各顶点V至中心点C线段投影最大值r是否超过平面至中心点距离s即可。

OBB中的8个顶点V可以表示为V=C+/-e0u0+/-e1u1+/-e2u2。

r的计算可表示为r = (V-C)·n

则r最大值为r = ( e0|u0·n| + e1|u1·n| + e2|u2·n| )

若n不是单位向量，则r = ( e0|u0·n| + e1|u1·n| + e2|u2·n| )/|n|

可将C代入P方程可得C距P有符号距离s，s = n·C - d。

当-r <= s <= r时两者相交。

以下代码中，n不必须为单位向量。若n不为单位向量，则r和s相当于同时增加了一个系数|n|，对比较没有影响。

//Test if OBB b intersects plane p
int TestOBBPlane(OBB b, Plane p)
{
　　//Compute the projection interval radius of b onto L(t) = b.c + t*p.n
    float r = b.e[0]*Abs(Dot(p.n,b.u[0])) + 
           b.e[1]*Abs(Dot(p.n,b.u[1])) + 
           b.e[2]*Abs(Dot(p.n,b.u[2])) ;
    //Compute distance of box center from plane
    float s = Dot(p.n, b.c) - p.d;
    //Intersection occurs when distance s falls within [-r,+r] interval
    return Abs(s) <= r;
}

其他测试可以采用类似方法加以实现：若s <= -r，则OBB位于平面负半空间；若r<=s，则OBB完全位于平面正半空间。

对于AABB代码如下：

//Test if AABB b intersects plane p
int TestAABBPlane(AABB b, Plane p) 
{
    //These two lines not necessary with a (center, extends) AABB representation
    Point c = (b.max + b.min) * 0.5f;    //Compute AABB center
    Point e = b.max - c;               //Compute positive extends

    //Compute the projection interval radius of b onto L(t) = b.c + t * p.n
    float r = e[0] * Abs(p.n[0]) + e[1] * Abs(p.n[1]) + e[2] * Abs(p.n[2]);
    //Compute distance of box center from plane
    float s = Dot(p.n, c) - d;
    //Intersection occurs when distance s falls within [-r,+r] interval
    return Abs(s) <= r;
}