图论入门及基本概念

本文介绍了图论的基本概念,包括图的定义、有向与无向图的区别,以及图的存储方式如图链表和图矩阵。此外,还讲解了顶点、边、权重、路径、环、连通图等核心概念,并提到了深度优先遍历和广度优先遍历等图的遍历方法。最后,讨论了最小生成树的构建算法Prim和Kruskal。

1.图的含义

数据结构:点、线性表、树、图

这些数据结构都是对问题的抽象,图是比较复杂的一种。

图用符号记为G(V,E), G表示图的最大集合,V是图中所有点的集合,E是边的集合。 G=graph, V=vertex , E=edge

例如,点表示人, 边映射人与人是否认识,这就是一张人际网图;

点表示网络设备,边映射连通的网线,这就是一张设备网络图

2.图的分类

图分为有向图和无向图。有向和无向是针对边的。

有向图的应用更广泛,因为无向图可以被表示为双向的有向图,所以图的算法经常采用有向图作为输入数据。

3.图的存储

3.1图链表

即用已有的线性表去表示图

假设一个图中有N个节点,那么可以用N个链表去表示,每个链表的开头是V集合中的一个节点,链表的后续内容就是与这个点有关联的点。

3.2图矩阵

用矩阵的方式去存储图

比较:图链表存储复杂度更低;图矩阵的方便之处是可以将图作为矩阵对待,线性代数可以派上用场。

4.基本概念

4.1顶点(vertex):表示某个事物或对象

4.2边(edge):表示事物与事物之间的关系

4.3同构(Isomorphism)

4.4有向图/无向图:每条边都是有向边/无向边的图

4.5权重:每条边都有预支对应的值

4.6路径/最短路径:在图上任取2点,分别作为起点和终点。起点和终点之间不重复经过同一个点或一条边的路线就是一条路径。两个顶点之间存在路径,则

### 什么是图论图论是研究图(Graph)的数学理论,广泛应用于计算机科学、信息科学、社会学、生物学等多个领域。图由一组顶点(Vertex)和连接这些顶点的边(Edge)组成,可以用来表示对象之间的关系[^2]。 ### 图的基本定义 图通常记作 $ G = (V, E) $,其中: - $ V $ 是顶点集合。 - $ E $ 是边集合,每条边连接两个顶点。 根据边是否有方向性,图可分为: 1. **无向图**:边没有方向性,例如社交网络中朋友关系。 2. **有向图**:边具有方向性,例如网页链接关系。 ### 图的分类 根据不同的属性,图可以分为以下几类: 1. **无权图**:边不带权重。 2. **带权图**:每条边都有一个权重值,表示连接的成本或距离。 3. **稀疏图**:边的数量远小于顶点数量的平方。 4. **稠密图**:边的数量接近于顶点数量的平方。 5. **完全图**:任意两个顶点之间都有一条边连接。 ### 图的连通性 图的连通性描述了顶点之间的可达性: 1. **连通图**:在无向图中,任意两个顶点之间存在路径。 2. **强连通图**:在有向图中,任意两个顶点之间存在双向路径。 3. **弱连通图**:忽略边的方向后,图是连通的。 定理说明: - 在具有 $ n $ 个结点的图中,若 $ v_i $ 到 $ v_j $ 存在一条路,则 $ v_i $ 到 $ v_j $ 必存在一条长度不大于 $ n-1 $ 的路[^4]。 - 图是强连通则必是单侧连通;是单侧连通则必是弱连通。 ### 图的表示方法 图可以通过以下两种常见方式表示: #### 邻接矩阵 邻接矩阵是一个二维数组 $ A $,其中 $ A[i][j] $ 表示从顶点 $ i $ 到顶点 $ j $ 是否存在边。对于带权图,$ A[i][j] $ 可以存储边的权重。 ```python # 示例:无向图的邻接矩阵表示 graph = [ [0, 1, 0, 1], [1, 0, 1, 0], [0, 1, 0, 1], [1, 0, 1, 0] ] ``` #### 邻接表 邻接表是一个列表,每个顶点对应一个链表,存储与该顶点相连的所有顶点。 ```python # 示例:邻接表表示 graph = { 0: [1, 3], 1: [0, 2], 2: [1, 3], 3: [0, 2] } ``` ### 图的基本算法 图的基本算法包括: 1. **深度优先遍历(DFS)**:通过递归或栈实现,用于探索图中的所有可达顶点。 2. **广度优先遍历(BFS)**:通过队列实现,用于寻找最短路径。 3. **求解连通量**:统计图中连通分量的数量。 4. **判断两个顶点是否连通**:使用 DFS 或 BFS 检查是否存在路径。 5. **寻找连通路径**:记录路径并输出。 6. **寻找最短路径**:常用 Dijkstra 算法或 Floyd-Warshall 算法。 ### 经典图论问题和应用 图论的经典问题包括: 1. **最短路径问题**:如 Dijkstra 算法、Bellman-Ford 算法。 2. **最小生成树问题**:如 Prim 算法、Kruskal 算法。 3. **最大匹配问题**:如匈牙利算法。 4. **网络流问题**:如 Ford-Fulkerson 算法。 5. **拓扑排序问题**:用于任务调度。 图的应用非常广泛,包括社交网络分析、交通网络优化、互联网路由协议等。 ### 入门教程和学习资料推荐 1. **书籍**: - 《算法导论》:详细讲解图论算法。 - 《数据结构与算法分析》:提供图论基础概念。 2. **在线课程**: - Coursera 上的《Algorithms on Graphs》课程。 - LeetCode 和 HackerRank 提供大量图论练习题。 3. **博客和文章**: - 优快云 和知乎上的图论入门教程。 - GeeksforGeeks 提供详细的图论算法实现。
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