hdu1576 A/B(扩展的欧几里德算法)-优快云博客

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A/B

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Problem Description

要求(A/B)%9973，但由于A很大，我们只给出n(n=A%9973)(我们给定的A必能被B整除，且gcd(B,9973) = 1)。

Input

数据的第一行是一个T，表示有T组数据。
每组数据有两个数n(0 <= n < 9973)和B(1 <= B <= 10^9)。

Output

对应每组数据输出(A/B)%9973。

Sample Input

        2 1000 53 87 123456789 
      

Sample Output

        7922 6060 
      

 
       题解： 
      

 
       因为：题目已知n和B，又知gcd(B,9973) = 1, 
      

 
       且n=A%9973，需要求(A/B)%9973， 
      

 
       由于不知道A,所以需要把A替换掉， 
      

 
       所以设 
      

 
                    ans=(A/B)%9973             ……                                             (1) 
      

 
       (1)式中    存在x使得 
      

 
                      A/B=9973x+ans,               ……                                         (2) 
      

 
       (2)  式中两边同时乘上B,得 
      

 
                      A=9973*B*x+ans*B      ……                                             (3) 
      

又因n=A%9973,

一定存在y使得

n=A-9973*y …… (4)

把(3)代入(4)得

n=9973*B*x+ans*B -9973*y

合并得

n=ans*B +(B*x-y)9973 …… (5)

又有 gcd(B,9973) = 1，所以(5)式两边同时除以n,得

1=ans/n*B+(B*x-y)/n*9973

就可以看成ax+by=1的形式，

运用扩展的欧几里德算法求出ans/n,

此时a=B,b=9973,x=ans/n;

所以套用扩展的欧几里德算法模版求出x,然后再乘上n,即可得出结果ans=(A/B)%9973；

代码实现：

#include<iostream>
using namespace std;

const int MOD=9973;

void extendGcd(int a,int b,int &x,int &y)   //扩展gcd，可以求出gcd(a,b)以及ax+by=gcd(a,b)中x,y的值
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;

        return;
    }
    else
    {
        extendGcd(b,a%b,x,y);

        int tmp=x;
        x=y;
        y=tmp-a/b*y;
    }
}

int main()
{
    int t,n,b,x,y,tmp;

    cin>>t;
    while(t--)
    {
        cin>>n>>b;

        extendGcd(b,MOD,x,y);  //解出bx+9973y=1的x

       x*=n;   //此时的x为 n=ans*B +(B*x-y)9973 中的解ans了
        tmp=(x%MOD+MOD)%MOD;   //防止x为负，有题意x必为正数

        cout<<tmp<<endl;
    }

    return 0;
}