ARIMA 模型：非平稳时间序列预测的 “瑞士军刀”

最新推荐文章于 2025-07-25 21:23:58 发布

杰森AST

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文章标签：深度学习机器学习人工智能回归 python

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/u010257409/article/details/149615511

一、从 ARMA 到 ARIMA：为什么需要 “差分”？

在之前的文章中，我们学习了 ARMA 模型如何通过历史观测值和误差项预测未来。但 ARMA 有个致命短板——它只能处理平稳时间序列。

什么是平稳序列？简单说，就是序列的均值、方差不随时间变化。但现实中，多数时间序列都带有趋势或季节性（如股票价格、GDP 增长、月度销量），这些序列明显非平稳，直接用 ARMA 会导致严重偏差。

举个例子：预测某公司的销售额（逐年增长），若忽略增长趋势，模型会把 “增长” 误判为随机波动，预测结果将严重滞后于实际值。

ARIMA 模型的核心创新：通过差分操作消除趋势，将非平稳序列转化为平稳序列，再用 ARMA 建模。这就像给模型装了个 “趋势过滤器”，让它专注于捕捉数据的本质规律。

二、ARIMA 的三要素：(p, d, q)

ARIMA 模型由三个参数定义：ARIMA(p, d, q)，每个参数都有明确的物理意义：

p：自回归阶数（AR 部分），表示使用过去 p 期的观测值；
d：差分阶数，表示需要对原始数据进行 d 次差分以达到平稳；
q：移动平均阶数（MA 部分），表示使用过去 q 期的误差项。

差分操作详解

差分是 ARIMA 的灵魂，它通过计算相邻数据点的差值来消除趋势。例如：

一阶差分： $Δxt=xt−xt−1\Delta x_t = x_t - x_{t-1}$ （消除线性趋势）
二阶差分： $Δ2xt=Δxt−Δxt−1\Delta^2 x_t = \Delta x_t - \Delta x_{t-1}$ （消除二次趋势）

直观理解：如果原始数据是 “销售额”，一阶差分后就变成了 “销售额的增长量”，而增长量通常比原始值更平稳。

三、ARIMA 模型的数学原理

核心公式

ARIMA(p, d, q) 的完整表达式可以拆分为两部分：

差分过程：将原始序列 $x_t$ 转换为平稳序列 $y_t$
$y_t = \Delta^d x_t$
ARMA 建模：对平稳序列 $y_t$ 应用 ARMA(p, q)
$y_t = \phi_1 y_{t-1} + \cdots + \phi_p y_{t-p} + \theta_1 \varepsilon_{t-1} + \cdots + \theta_q \varepsilon_{t-q} + \varepsilon_t$

其中， $ϕi\phi_i$ 是 AR 系数， $θj\theta_j$ 是 MA 系数， $εt\varepsilon_t$ 是白噪声误差。

参数估计方法

ARIMA 模型的参数估计分为两步：

确定 d：通过 ADF 检验（单位根检验）判断序列是否平稳，逐步增加差分次数直到平稳；
确定 p 和 q：对差分后的平稳序列，使用 ACF/PACF 图或信息准则（AIC/BIC）选择最优阶数。

四、ARIMA 建模实战：Python 实现

下面通过一个完整案例，展示如何使用 ARIMA 模型预测带趋势的时间序列数据：

案例：预测公司季度营收（带增长趋势）

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from statsmodels.tsa.arima.model import ARIMA
from statsmodels.tsa.stattools import adfuller
from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf, plot_pacf

# 设置随机种子，确保结果可复现
np.random.seed(42)

# 1. 生成带趋势的季度营收数据（2018-2022年）
dates = pd.date_range(start='2018-01-01', periods=20, freq='Q')
trend = np.linspace(100, 300, 20)  # 线性增长趋势
noise = np.random.normal(0, 20, 20)  # 随机噪声
revenue = trend + noise  # 季度营收 = 趋势 + 噪声

# 创建DataFrame
df = pd.DataFrame({'revenue': revenue}, index=dates)

# 2. 可视化原始数据
plt.figure(figsize=(12, 8))
plt.subplot(2, 2, 1)
plt.plot(df.index, df['revenue'], color='blue', linewidth=2)
plt.title('原始季度营收数据（非平稳）', fontsize=14)
plt.grid(True)

# 3. 平稳性检验（ADF检验）
def adf_test(series):
    result = adfuller(series)
    print(f'ADF Statistic: {result[0]}')
    print(f'p-value: {result[1]}')
    print('Critical Values:')
    for key, value in result[4].items():
        print(f'\t{key}: {value}')
    if result[1] <= 0.05:
        print("序列平稳（拒绝原假设）")
    else:
        print("序列非平稳（接受原假设）")

print("原始数据的ADF检验:")
adf_test(df['revenue'])

# 4. 一阶差分并检验平稳性
df['diff1'] = df['revenue'].diff().dropna()
plt.subplot(2, 2, 2)
plt.plot(df.index[1:], df['diff1'][1:], color='green', linewidth=2)
plt.title('一阶差分后数据（平稳）', fontsize=14)
plt.grid(True)

print("\n一阶差分后的ADF检验:")
adf_test(df['diff1'].dropna())

# 5. 绘制ACF和PACF图（确定p和q）
plt.subplot(2, 2, 3)
plot_acf(df['diff1'].dropna(), lags=10, ax=plt.gca())
plt.title('差分后序列的ACF图', fontsize=14)

plt.subplot(2, 2, 4)
plot_pacf(df['diff1'].dropna(), lags=10, ax=plt.gca())
plt.title('差分后序列的PACF图', fontsize=14)

plt.tight_layout()
plt.show()

# 6. 拟合ARIMA(2,1,2)模型
model = ARIMA(df['revenue'], order=(2, 1, 2))  # p=2, d=1, q=2
model_fit = model.fit()

# 7. 预测未来8个季度的营收
forecast_steps = 8
forecast = model_fit.forecast(steps=forecast_steps)
forecast_index = pd.date_range(start=df.index[-1] + pd.DateOffset(months=3), periods=forecast_steps, freq='Q')

# 8. 可视化预测结果
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.plot(df.index, df['revenue'], label='历史营收', color='blue', linewidth=2)
plt.plot(forecast_index, forecast, label='预测营收', color='red', linestyle='--', linewidth=2)
plt.title('季度营收预测（ARIMA模型）', fontsize=14)
plt.xlabel('日期')
plt.ylabel('营收（万元）')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

在这里插入图片描述

五、ARIMA 建模全流程解析

1. 数据生成与探索

我们创建了一个带线性增长趋势的季度营收数据，从图中可以明显看出均值随时间增加，属于非平稳序列。

2. 平稳性检验

通过 ADF 检验判断序列是否平稳：

原假设：序列非平稳
若 p-value > 0.05，则接受原假设，序列非平稳

原始数据的 ADF 检验 p-value ≈ 0.99，说明非平稳，需要差分。

3. 差分转换

对原始数据进行一阶差分后，再次进行 ADF 检验，此时 p-value ≈ 0.0001，说明已平稳，故 d=1。

4. 确定 p 和 q

通过 ACF/PACF 图判断阶数：

ACF 图：在滞后 2 阶后截尾 → q=2
PACF 图：在滞后 2 阶后截尾 → p=2

因此，选择 ARIMA(2, 1, 2) 模型。

5. 模型拟合与预测

使用选定的参数拟合模型，并预测未来 8 个季度的营收。从预测结果可以看到，模型成功捕捉了原始数据的增长趋势，并给出了合理的预测区间。

六、ARIMA 模型的优缺点与适用场景

优点

适用性广：能处理各种趋势的非平稳序列（线性、非线性）
理论成熟：有严格的数学基础和统计检验方法
可解释性强：参数具有明确的物理意义
短期预测精准：在处理 1-12 期预测时表现优异

缺点

不适合长期预测：超过一定期限后，预测值会收敛到均值
无法处理季节性：对季节性波动大的数据效果不佳（需用 SARIMA）
参数调优复杂：需要反复尝试不同的 (p, d, q) 组合

适用场景

具有趋势但无明显季节性的数据（如 GDP、人口增长）
短期预测需求（如未来 1 年的销售额）
需要明确解释变量影响的场景

七、ARIMA 的进阶技巧与注意事项

1. 差分次数 d 的选择

多数情况下，d=0 或 1 即可
若序列有二次趋势（如指数增长），可能需要 d=2
极少需要 d≥3，因为过度差分会导致信息丢失

2. 自动定阶工具

除了手动观察 ACF/PACF，还可以使用自动定阶函数：

import pmdarima as pm

# 自动寻找最优(p,d,q)参数
model = pm.auto_arima(df['revenue'], 
                      start_p=0, start_q=0,
                      max_p=5, max_q=5,
                      d=None,              # 自动确定差分阶数
                      seasonal=False,      # 暂不考虑季节性
                      trace=True)          # 打印搜索过程

3. 模型评估指标

常用指标包括：

AIC/BIC：越小越好
MAE/MSE/RMSE：衡量预测误差
Ljung-Box 检验：检验残差是否为白噪声

八、总结与展望

ARIMA 模型通过 “差分 + ARMA” 的组合，成功解决了非平稳时间序列的预测难题。其核心在于通过差分消除趋势，让模型专注于捕捉数据的本质波动规律。

但 ARIMA 仍有局限——它无法直接处理季节性数据。在下一篇文章中，我们将学习 SARIMA 模型（季节性 ARIMA），看看如何同时处理趋势和季节性，敬请期待！

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