96. Unique Binary Search Trees

题意：输入n，节点值为1....n,构成的不同的bst(二叉查找树)共有多少个？

思路：n:节点个数， |left|表示左子树的节点个数，|rigth|表示右子树的节点个数，

递推关系：1、f(n) = sum(f(|left|*f|right|)(for root in 1，...，n, 从n个数中选择一个数作为根节点的值，剩余的数分别落在左右子树中)）

                    2、对称性：当|left| = |right|时，f(left|) = f|right|)，使用平移理论解释，Tree1（i->j）,Tree2(i+x->j+x)对应的不同BST的种类是相同的， 推广，无论数字是否连续，只需树中的节点数目相同，BST的种类数相等。

                   3、使用带记忆的自顶向下算法/自底向上算法。

                   4、终止条件：f(0) = f(1) =1

带记忆的自顶向下算法

 public int numTrees(int n) {
    	if(n == 0)
    		return 0;
    	
    	int map[] = new int[n+1];
    	map[0] = 1;
    	map[1] = 1;
    	return updateMap(n, map);
    }
    
    public int updateMap(int n, int a[]){
    	if(a[n] != 0){
    		return a[n];
    	}
    	int sum = 0;
    	for(int i = 1; i < n + 1; i++){
    		sum += updateMap(i-1, a) * updateMap(n-i, a);
    	}
    	a[n] = sum;
    	return a[n];
    }
    
    public static void main(String[] args) {
		Solution s = new Solution();
		System.out.println(s.numTrees(0));
		System.exit(0);
	}

自底向上算法

    public int numTrees(int n) {
    	if(n == 0)
    		return 0;
    	
    	int map[] = new int[n+1];
    	map[0] = 1;
    	map[1] = 1;
    	for(int i = 2; i <= n; i++){
    		for(int j = 1; j <= i; j++){
    			map[i] += map[j-1] * map[i-j];
    		}
    	}
    	return map[n];
    }

自底向上算法比带记忆的自顶向下算法快，因为递归耗时，同时问题需要用到全部的子问题空间。