漫步数学分析番外六(上)

1ARn中的开集并且假设f:ARmx0处可微,那么Df(x0)是由f唯一确定。

L1,L2是满足定义1的两个线性映射,我们必须说明L1=L2。固定eRn,e=1,对λRx=x0+λe,那么注意

|λ|=xx0L1eL2e=L1λeL2λe|λ|

因为A是开集,所以λ充分小时xA,根据三角不等式

L1eL2e=L1(xx0)L2(xx0)xx0f(x)f(x0)L1(xx0)xx0+f(x)f(x0)L2(xx0)xx0

λ0时,上式的两项均0,所以L1e=L2e。 除了e=1e的选择是任意的,但是对任意yRn,y/y=e长度为1,利用线性可知,如果L1(e)=L2(e),那么L1(y)=L2(y)||

2 假设ARn是一个开集并且f:ARm是可微的,那么偏微分fj/xi存在且线性映射Df(x)对于Rn,Rm 中标准基的矩阵为

f1x1f2x1fmx1f1x2f2x2fmx2f1xnf2xnfmxn

其中每个偏导数都是在x=(x1,,xn)处计算出来的。

根据线性映射矩阵的定义,Df(x)的第ji 个矩阵元素是向量Df(x)ei的第j个元素,也就是Df(x)作用到第i个标准基ei上,我们称为aji。 接下来令y=x+hei,其中hR,注意

f(y)f(x)Df(x)(yx)yx=f(x1,,xi+h,,xn)f(x1,,xn)hDf(x)ei|h|

因为当h0时上面的式子0,所以分子的第j个元素同样如此,这就意味着当h0

|fj(x1,,xi+h,,xn)fj(x1,,xn)haji||h|0

因此我们有

aji=limh0[fj(x1,,xi+h,xn)fj(x1,,xn)]h=fjxi||

3 假设ARn是开集且f:ARmA上可微,那么f是连续的。事实上,对于每个x0A存在一个常数M>0,δ0>0 使得xx0<δ0意味着f(x)f(x0)Mxx0。(这就是利普希茨(Lipschitz)性质)

为了证明这个定理,我们回忆一下,如果L:RnRm是一个线性变化,那么存在一个常数M0使得对所有的xRn不等式LxM0x,因此我们取L=Df(x0)

为了证明连续性,只要证明利普希茨性质即可,对给定的ε>0,我们可以选择δ=min(δ0,ε/M)。为此我们令定义1 中的ε=1,那么存在一个δ0使得xx0<δ0意味着

f(x)f(x0)Df(x0)(xx0)xx0

变换一下得

f(x)f(x0)Df(x0)(xx0)+xx0

(这里我们使用了三角不等式yzyz,这要对y=(yz)+z应用通常的三角不等式即可得出该结果)。令M=M0+1并利用事实Df(x0)(xx0)M0xx0 得出结论。||

4ARn是一个开集,f:ARnRm,假设f=(f1,,fm)。如果每个偏导fj/xj存在且在A上连续,那么fA上可微。

如果Df(x)存在,那么它的矩阵表示就是定理2 中的雅克比矩阵,从而我们需要说明当xA固定,对于任意的ε>0,存在δ>0使得yx<δ,yA意味着

f(y)f(x)Df(x)(yx)<εyx

为此,只要证明f中每个元素满足即可,因此我们假设m=1

我们可以写成f(y)f(x)=f(y1,,yn)f(x1,y2,,yn)+f(x1,y2,,yn)f(x1,x2,y3,,yn)+f(x1,x2,y3,,yn)f(x1,x2,x3,y4,,yn)++f(x1,,xn1,yn)f(x1,,xn),接下来我们利用均值定理,在x1,y1(y2,,yn 固定)之间存在u1使得f(y1,,yn)f(x1,y2,,yn)=f/x1(u1,y2,,yn)(y1x1),对于其他项我们可以写出同样的表达式从而得到

f(y)f(x)=(fx1(u1,y2,,yn))(y1x1)+(fx2(x1,u2,,yn))(y2x2)++(fx1(x1,x2,,xn1,un))(ynxn)

那么因为Df(x)(yx)=Σni=1fxi(x1,,xn)(yixi),所以

f(y)f(x)Df(x)(yx){fx1(u1,y2,,yn)fx1(x1,,xn)++fxn(x1,,xn1,un)fxn(x1,,xn)}yx

其中利用了三角不等于以及事实|yixi|yx。但是f/xi是连续的并且ui位于yi,xi之间,所以存在δ>0使得大括号中的项在yx<δ时小于ε,这就证明了断言。||

5f:ARm在开集ARn上是可微的,g:BRp在开集BRm上是可微的,假设f(A)B,那么复合函数(composite)gfA上是可微的且D(gf)(x0)=Dg(f(x0))Df(x0)

为了说明D(gf)(x0)y=Dg(f(x0))(Df(x0)y),我们想说明

limxx0gf(x)gf(x0)Dg(f(x0))(Df(x0)(xx0))xx0=0

为此估计一下分子:

gf(x)gf(x0)Dg(f(x0))(Df(x0)(xx0))=g(f(x))g(f(x0))Dg(f(x0))(f(x)f(x0))+Dg(f(x0))(f(x)f(x0)Df(x0)(xx0))g(f(x))g(f(x0))Dg(f(x0))(f(x)f(x0))+Dg(f(x0))(f(x)f(x0)Df(x0)(xx0))

因为f是可微的,所以根据定理3存在δ0,M>0 使得xx0<δ0f(x)f(x0)M。接下来给定ε>0,根据导数的定义,存在δ1>0使得yf(x0)<δ1意味着

g(y)g(f(x0))Dg(f(x0))(yf(x0))<(ε2M)yf(x0)

从而xx0<δ2=min{δ0,δ1}意味着

g(f(x))g(f(x0))Dg(f(x0))(f(x)f(x0))xx0<ε2

因为Dg(f(x0))是一个线性映射,所以我们知道存在一个常数M~使得对所有的yRm,Dg(f(x0))(y)M~y,其中可以假设M~0。接下里根据导数的定义存在δ3>0使得xx0<δ3意味着

f(x)f(x0)Df(x0)(xx0)xx0<ε2M~

那么xx0<δ3意味着

Dg(f(x0))(f(x)f(x0)Df(x0)(xx0))xx0M~f(x)f(x0)Df(x0)(xx0)xx0<ε2

δ=min{δ2,δ3},那么xx0<δ意味着
gf(x)gf(x0)Dg(f(x0))Df(x0)(xx0)xx0g(f(x))g(f(x0))Dg(f(x0))(f(x)f(x0))xx0+Dg(f(x0))(f(x)f(x0)Df(x0)(xx0))xx0<ε2+ε2=ε

证毕。||

6ARn是开集,f:ARm,g:AR是可微函数,那么gf是可微的并且对于xA,D(gf)(x):RnRmD(gf)(x)e=g(x)(Df(x)e)+(Dg(x)e)f(x),对所有的eRn均如此。

给定ε>0,x0A,选择δ>0使得xx0<δ意味着

  1. |g(x)||g(x0)|+1=M;
  2. f(x)f(x0)Df(x0)(xx0)ε3Mxx0;
  3. g(x)g(x0)Dg(x0)(xx0)ε3f(x0)xx0;
  4. g(x)g(x0)ε3M

其中Df(x0)yMy(如果f(x0)=0,Df(x0),那么只需要(iii),(iv)即可)

那么对于xx0<δ,利用三角不等式得

g(x)f(x)g(x0)f(x0)g(x0)Df(x0)(xx0)[Dg(x0)(xx0)]f(x0)g(x)f(x)g(x)f(x0)g(x)Df(x0)(xx0)+g(x)Df(x0)(xx0)g(x0)Df(x0)(xx0)+g(x)f(x0)g(x0)f(x0)[Dg(x0)(xx0)]Mεxx03M+ε3MMxx0+εxx03f(x0)f(x0)=εxx0.||

7
(i)假设f:ARnR在开集A上可微,对于使得x,y 之间的线段位于A中的任意x,yA,存在点c位于那条线段上使得

f(y)f(x)=Df(c)(yx)

(ii)假设f:ARnRm在开集A上可微,假设连接x,y的线段位于A中并且f=(f1,,fm),那么在那条线段上存在点c1,,cm使得

fi(y)fi(x)=Dfi(ci)(yx),i=1,,m

(i)考虑函数h:[0,1]R,定义为h(t)=f((1t)x+ty),函数h(0,1)上对t可微,那么根据均值定理,存在t0(0,1)使得h(1)h(0)=h(t0)(10),现在h(1)=f(y),h(0)=f(x)。利用链式法则求微分可得h(t0)=Df((1t0)x+t0y)(yx),其中(1t)x+tyt的导数是yx,从而我们可以取c=(1t0)x+t0y

(ii)f的每个元素分别应用(i) 即可。||

8f:ARnR在开集A上二阶可导,那么D2f(x):Rn×RnR对于标准基的矩阵为

2fx1x12fxnx12fx1xn2fxnxn

其中每个偏微分都是在点x=(x1,,xn)处进行计算。

Df:ARn的矩阵表示由行向量(f/x1,,f/xn)给出,那么根据定理2,D2f:ARn2

2fx1x12fxnx12fx1x22fxnx22fx1xn2fxnxn

证毕。||

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