漫步微积分十三——高阶导数

$y=x^4$的导数是$y'=4x^3$。但是$4x^3$依然可导，$12x^2$。用$y''$表示，叫做原函数的二阶导。对二阶导$y''=12x^2$求导得到三阶导$y'''=24x$，一直这样做知道没有定义为止。对于高阶导，有些符号是共用的，我们都应该熟悉他们。对函数$u=f(x)$逐次求导得

$$\begin{equation} \begin{array}{ccccc} 一阶导数 &f'(x)&y'&\frac{dy}{dx}&\frac{d}{dx}f(x)\\ 二阶导数&f''(x)&y''&\frac{d^2y}{dx^2}&\frac{d^2}{dx^2}f(x)\\ \ 三阶导数&f'''(x)&y'''&\frac{d^3y}{dx^3}&\frac{d^3}{dx^3}f(x)\\ n阶导数&f^{n}(x)&y^{(n)}&\frac{d^ny}{dx^n}&\frac{d^n}{dx^n}f(x) \end{array}\notag \end{equation}$$

这些符号按阶数给出。用符号$'$表示比较麻烦，所以在三阶导以上不经常用。有时候，将原函数看作零阶导数会非常方便，写作$f(x)=f^{(0)}(x)$。第三列的上标位置看着很奇怪，我们这样理解，它是一阶导数的二次求导

$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)$$

等式的左边，上标$2$在$d$和$dx$的上部，和右边的符号相一致。

更高阶的导数有什么用呢？之后我们会看到，在几何上，$f''(x)$的符号决定了曲线$y=f(x)$是凸的还是凹的。另外二阶导数的定性分析还会提炼成定量的计算公式。

物理学中，二阶导非常重要。如果$f=f(t)$给出了时刻$t$运动目标的位置，那么我们就知道位置函数的一阶和二阶导

$$v=\frac{ds}{dt}\qquad a=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2s}{dt^2}$$

分别是时间$t$对应的速度和加速度。加速的的中心地位来源于牛顿第二定律，即运动物体的加速度与施加于它的力成正比。牛顿力学的基本问题是利用微积分来推导运动的性质。之后我们会接触到相关问题。

高阶导不像二阶导，它没有这样基本的几何或物理解释。然而，我们会看到，这些导数也是有用的，它将函数扩展成无穷级数。

所有的应用在后面的文章中都会进行详细的讨论。同时，我们目前需要熟练计算方法。

例1：很容易求出函数$y=x^5$的所有导数：

$$\begin{align} y'&=5x^4,\quad y'=20x^3,\quad y'''=60x^2\notag\\ y^{(4)}&=120x,\quad y^{(5)}=120,\quad y^{(n)}=0\quad n>5\notag \end{align}$$

下面的符号将经常用到。对于任何正数$n$，符号$n!$是从$1$到$n$所有正数的乘积:

$$n!=1\cdot 2\cdot 3\cdots n$$

因此，$1!=1,2!=1\cdot 2=2,3!=1\cdot 2\cdot 3=6,4!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24$等等。如果我们重复对$y=x^n$求导，那么

$$\begin{eqnarray*} y'&=&nx^{n-1}\\ y''&=&n(n-1)x^{n-2}\\ y'''&=&n(n-1)(n-2)x^{n-3}\\ y^{(n)}&=&n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot 1=n!\\ y^{(k)}&=&0\quad k>n. \end{eqnarray*}$$

例2：为了找到$y=1/x=x^{-1}$$n$阶导数的通式，我们从一阶导开始计算直到观察出模式来：

$$\begin{eqnarray*} y'&=&-x^{-2}\\ y''&=&2x^{-3}\\ y'''&=&-2\cdot 3x^{-4}=-3!x^{-4}\\ y^{(4)}&=&2\cdot 3\cdot 4x^{-5}=4!x^{-5}\\ y^{(5)}&=&-2\cdot 3\cdot 4\cdot 5x^{-6}=-5!x^{-6}. \end{eqnarray*}$$

观察上面的过程，不考虑符号，那么$y^{(n)}=n!x^{-(n+1)}$。对于符号有种比较方便的形式$(-1)^n$，如果是奇数，那么它等于$-1$，如果是偶数，那么它等于$1$。因此对于所有的正整数$n$

$$y^{(n)}=(-1)^nn!x^{-(n+1)}$$

例3：对一个圆$x^2+y^2=a^2$，利用隐函数求导，可以找到$y''$的简洁形式。首先对等式两边求导得

$$\begin{equation} 2x+2yy'=0\quad or\quad y'=-\frac{x}{y}.\tag1 \end{equation}$$

利用除法法则在求导得

$$y''=-\frac{y-xy'}{y^2}.$$

将(1)代入上式得

$$y''=-\frac{y-x(-x/y)}{y^2}=-\frac{y^2+x^2}{y^3}=-\frac{a^2}{y^3}$$

这对每个人来说都是比较简洁的形式了。

例4：重复求导很容易的证明二项式定理。对于任意正整数$n$，考虑函数

$$(1+x)^n=(1+x)(1+x)\cdots (1+x)$$

很明显，该函数是$n$次多项式，即

$$\begin{equation} (1+x)^n=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\cdots +a_nx^n\tag2 \end{equation}$$

我们的问题是找出系数是多少。如果我们令$x=0$，立马得出$a_0=1$。接下来，对(2)式两边重复求导得

$$\begin{eqnarray*} n(1+x)^{n-1}&=&a_1+2a_2x+3a_3x^2+\cdots +na_nx^{n-1}\\ n(n-1)(1+x)^{n-2}&=&2a_2+3\cdot 2a_3x+\cdots +n(n-1)a_nx^{n-2}\\ n(n-1)(n-2)(1+x)^{n-3}&=&3\cdot 2a_3+\cdots +n(n-1)(n-2)a_nx^{n-3} \end{eqnarray*}$$

等等。这些等式对所有$x$都成立，所以我们取$x=0$。从而得出系数值为：

$$\begin{eqnarray*} a_1&=&n,\quad a_2=\frac{n(n-1)}{2},\quad a_3=\frac{n(n-1)(n-2)}{2\cdot 3},\quad \ldots\\ a_k&=&\frac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{1\cdot 2\cdot 3\cdots k},\quad \ldots ,\quad a_n=1. \end{eqnarray*}$$

得到系数后，代入等式(2)得

$$\begin{align} (1+x)^n=&1+nx+\frac{n(n-1)}{1\cdot 2}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{1\cdot 2\cdot 3}x^3 \notag\\ &+\cdots+\frac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{1\cdot 2\cdot 3\cdots k}x^k+\cdots+x^n.\tag3 \end{align}$$

这就是二项式定理。