再论EM算法的收敛性和K-Means的收敛性

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（最近被一波波的笔试+面试淹没了，但是在有两次面试时被问到了同一个问题：K-Means算法的收敛性。在网上查阅了很多资料，并没有看到很清晰的解释，所以希望可以从K-Means与EM算法的关系，以及EM算法本身的收敛性证明中找到蛛丝马迹，下次不要再掉坑啊。。）

EM算法的收敛性

1.通过极大似然估计建立目标函数：

$l(\theta) = \sum_{i=1}^{m}log\ p(x;\theta) = \sum_{i=1}^{m}log\sum_{z}p(x,z;\theta)$

通过EM算法来找到似然函数的极大值，思路如下：
希望找到最好的参数$\theta$，能够使最大似然目标函数取最大值。但是直接计算 $l(\theta) = \sum_{i=1}^{m}log\sum_{z}p(x,z;\theta)$比较困难，所以我们希望能够找到一个不带隐变量$z$的函数$\gamma(x|\theta) \leq l(x,z;\theta)$恒成立，并用$\gamma(x|\theta)$逼近目标函数。
如下图所示：

• 在绿色线位置，找到一个$\gamma$函数，能够使得该函数最接近目标函数，
  
  • 固定$\gamma$函数，找到最大值，然后更新$\theta$,得到红线；
• 对于红线位置的参数$\theta$：
  
  • 固定$\theta$，找到一个最好的函数$\gamma$，使得该函数更接近目标函数。
    重复该过程，直到收敛到局部最大值。

2. 从Jensen不等式的角度来推导

令$Q_{i}$是$z$的一个分布，$Q_{i} \geq 0$，则：

l(θ)=∑m