树状数组

在解题过程中，我们有时需要维护一个数组的前缀和S[i]=A[1]+A[2]+...+A[i]。
          但是不难发现，如果我们修改了任意一个A[i],S[i]、S[i+1]...S[n]都会发生变化。
          可以说，每次修改A[i]后，调整前缀和S[]在最坏情况下会需要O(n)的时间。
          当n非常大时，程序会运行得非常缓慢。
          因此，这里我们引入“树状数组”，它的修改与求和都是O(logn)的，效率非常高。

【理论】

          为了对树状数组有个形象的认识，我们先看下面这张图。

如图所示，红色矩形表示的数组C[]就是我们所维护的树状数组。

该图像的特征：构成了一个以C[8]为根结点，其他C[m]、A[n]为子结点的树。

对于数组A[]下标为奇数时，其上都仅仅只有一个C[]元素，即C[1] = A[1]、C[3] = A[3]、C[5] = A[5]等等

对于数组A[]下标为偶数时，这是一系列A[i]的和。

C[1] = A[1];C[1]的管辖范围为1

C[2] = A[2] + A[1] ;C[2]的管辖范围为2

C[3] = A[3];C[3]的管辖范围为1

C[4] = A[4] + A[3] + A[2] + A[1] ;C[4]的管辖范围为4

C[5] = A[5];C[5]的管辖范围为1

C[6] = A[6] + A[5] ;C[6]的管辖范围为2

C[7] = A[7];C[7]的管辖范围为1

C[8] = A[8] + A[7] + A[6] + A[5] + A[4] + A[3] + A[2] + A[1] ;C[8]的管辖范围为8

这里的管辖范围就是说C[]由几个A[]组成。

由上可得(S[]由C[]来表示)：

S[1] = C[1]

S[2] = C[2]

S[3] = C[3] + C[2]

S[4] = C[4]

S[5] = C[5] + C[4]

S[6] = C[6] + C[4]

S[7] = C[7] + C[6] + C[4]

S[8] = C[8]

通过观察图像：S[i]表示为i之前所有最大子树的根结点C[]累加的和

上面所说的管辖范围就是下面列出来的2^k所表示的数

i	二进制	2^k(k：i的二进制的末尾0的个数)
1	01	1
2	10	2
3	11	1
4	100	4
5	101	1
6	110	2
7	111	1
8	1000	8

2^k的求法：i 的二进制去掉所有高位的1，只保留最低位的1，如果只存在一个最高位的1，则 2^k 就是它本身。

如1（1），2（10），4（100），8（1000），16（10000）。即都是2的幂。

所以，当我们要求2的幂是只要i等于2^k就可以了，而2^k由位运算很容易求得。

对于C[i]如何求得他的父节点？

由上表格推断，C[i]的父节点为C[i+2^k]，也就是说将 i 的二进制的最末尾的1去掉，相邻的高位+1

对于C[i]如何求得他的下一个节点？

由上表格推断，C[i]的下一个节点是C[i-2^k]，也就是说将i的二进制最末尾的1去掉。

由上：

C[i]表示A[i-2^k+1]到A[i]的和，而k则是i在二进制时末尾0的个数。

利用位运算，我们可以直接计算出2^k=i&(i^(i-1)) 也就是i&(-i)，所以C[i]的父节点为C[i + i & (-i)]。

这个k(i的二进制末尾0的个数)就是该节点在树中的高度，因而这个树的高度不会超过logn。
所以,当我们修改A[i]的值时，可以从C[i]往根节点一路上溯，调整这条路上的所有C[]即可，这个操作的复杂度在最坏情况下就是树的高度即O(logn)。  

对于求数列的前n项和S[i]，只需找到n以前的所有最大子树，把其根节点的C[]加起来即可。

不难发现，这些子树的数目是n在二进制时1的个数。因此，求和操作的复杂度也是O(logn)。

         

在最后，我们将给出一些树状数组的实现代码，希望读者能够仔细体会其中的细节。

【代码】

  求最小幂2^k:

[cpp]  view plain  copy

1. int Lowbit(int t)   
2. {   
3.     return t & (-t);   
4. }   

求前n项和：

[cpp]  view plain  copy

1. int Sum(int end)   
2. {   
3.     int sum = 0;   
4.     while(end > 0)   
5.     {   
6.         sum += in[end];   
7.         end -= Lowbit(end);   
8.     }   
9.     return sum;   
10. }   

对某个元素进行加法操作： 

[cpp]  view plain  copy

1. void plus(int pos , int num)   
2. {   
3.     while(pos <= n)   
4.     {   
5.           in[pos] += num;   
6.           pos += Lowbit(pos);   
7.     }   
8. }   

参考：

http://blog.youkuaiyun.com/int64ago/article/details/7429868

http://www.hawstein.com/posts/binary-indexed-trees.html

https://www.topcoder.com/community/data-science/data-science-tutorials/binary-indexed-trees/