对Pollard's Rho算法的理解

之前曾经碰到过要用到Pollard's Rho算法的题目，不过当时没有学这个算法，只是备忘了一下，这两天没事干把这个算法学了。wiki上说这个算法是一个通用的因数分解算法，对于分解因子较小的组合数特别有用。

对于一个正整数n，在一般情况下，我们主要使用的是枚举1到n^(1/2)来求n的因子，所以算法复杂度是O(n^(1/2))。但是实际上有更好的办法，那就是Pollard's Rho算法，这个算法是一个随机化的算法，简单的说不是完全靠谱，一般我们认为它的平均算法复杂度是O(n^(1/4))，在64位范围内都是很开心的。

这个算法应用了一个非常神奇的思想——Birthday Trick。对于一个特定的目标值Aim，简单的一次随机企图命中它的概率是1/n，但是随机抽取k个值，这k个值中某两个值的差值命中Aim的概率却在k约为n^(1/2)时达到1/2。如果我们视n的因子为Aim（如果有的话），便可以用这个方法找到它了。

实际上上述算法的复杂度是O(n)，因为有k=n^(1/2)。又总共要比较k*k/2次。于是要优化。这里一个重要的思路是对于一个合数n，设p和q是它的两个因子，那么n与p的倍数和q的倍数有最大公约数大于1（为p或q）。现在我们只要要求k个随机值中某两个数的差值是p或q的倍数就行了。然后就有k的取值下降到n^(1/4)，具体怎么算出来的我看不懂，就不深究了。

第二个重要优化是如何储存k个数，实际上没有必要储存下来，因为它们是随机数，我们只要用一个随机函数不断生成它们就好了，这里一般用f(x) = (x * x + a)  mod N来生成伪随机数。注意到这里我们放弃了两两比较k个数，只是比较k个数中相邻的两个，这样也可以？我不知道。

在下来的一个问题是f的生成序列有可能是一个环，这就要求我们再加一个floyd的算法来判环。

这样就有一个可以在O(n^(1/4))时间内有1/2概率找出n的因子的算法了。