正睿金华Day6数论&杂题选讲

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<前言>

好久没写博客了，从Day5开始，那么我就从Day6开始补吧。

等等让我找找day6讲什么的、。。。

偶，是任轩笛讲的，上午讲数论和数论函数，下午杂题选讲。

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<正文>

质因数

一开始讲的是质因数的素性测试、质因子分解之类的，听着还挺正常。讲到线性筛的时候感觉还行，就去上了个厕所回来。

• 素性测试：

  • 试除法，配合质数筛法可以$O(\sqrt{n})$解决

    这个只要筛出$\sqrt{n}$之内的素数。然后一直试除，能除就除，只要能出就不是素数

  • Miller-Rabin素性测试，$O(logn)$完成但可能错误。

    这个我没听啊，但大致讲一下吧。

    • 基本原理是费马小定理：若 p 是质数，a, p 互质，则$a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$

    • 于是对于某个 p，若能找到与它互质的 a 使得$a^{p-1}̸=1(modp)$，则p不是质数。

    • 然而有一些合数 p，满足所有与它互质的 a 都有$a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$，这种数称为 Carmichael 数（如 561 = 3 ∗ 11 ∗ 17），这些数是用上面的方法检验不出来的。

    • 所以还需要奇素数判定。对于奇素数 p，$\left(a^{\frac{p-1}{2}}+1\right)\left(a^{\frac{p-1}{2}}-1\right)\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$，由于$F_p$是整环，所以 $a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1$ 或 $p-1$.

    • 如果$\frac{p-1}{2}$还是偶数则可以继续往下检验。

  • 印度人的AKS就不说了，是保证正确的log n算法:)

• 质因数分解：

  • 试除法：能除就除，不能除就加除数，直到大于原数。f复杂度就算用线性筛优化寻找素数，也是$O(\sqrt{n})$，太慢了。

  • Pollard’s Rho算法，期望复杂度$O(\sqrt[4]{n}\log n)$

    • 假如要分解一个数 n，首先进行素性测试，是素数直接返回。

    • 否则就要生成一些随机的$x_i$，去求$gcd(|x_i-x_j|,n)$，如果这个$\in (1,n)$ 则找到了$n$的一个因子，递归分解。

    • 一个挺靠谱的随机方法就是$x\leftarrow x^2+c$,c为随机数。

    • 这样随机出来的 x 可能会进入循环，假如进入循环了我们还没找到因子，就重新随个 x 和 c，重新做。

    • 如何判定是否进入环中：

      • 可以证明$x\leftarrow x^2+c$，形成的一定是一个 ρ 形结构,从一头进入循环就出不来了。我们可以采取标记的方法

      • 每次当 i 为 2 的幂次的时候就令$y\leftarrow x_i$，如果某时刻$x_i=y$
        了则说明已经在环上绕了一圈了。
        即：看 x(2,4] 是否 = x2，看 x(4,8] 是否 = x4，看 x(8,16] 是否
        = x8……

        这样“浪费”的步数仅仅是 O( 环长 ) 级别的。

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数论

老师的ppt足够详细，但是我还是有不明白。

但就着重讲几个我会的吧：

欧几里得算法

在求两数gcd得时候，我们用的多是辗转相除法或者辗转相减法。欧几里得算法就是辗转相除法了。

• 如果$x|a,x|b$,那么$x|(a-b)(a>b)$,所以gcd(a,b)=gcd(a,a%b).这样不断转换直到a%b变成零，此时a就是gcd了。、

扩展欧几里得：

已知 a, b，求出 x, y 满足 ax + by = gcd(a, b)。

在欧几里德算法中递归地求，若已有 b = 0，则 gcd = a，令x = 1, y = 0。

否则求出x‘, y′满足
$$b{x}^{\prime }+(a-a/b\ast b)\ast y=gcd(b,a\%b)=gcd(a,b)$$

于是：
$$a\ast y+b\ast (x-a/b\ast y)=gcd(a,b)$$

有$，x1=y2;y1=x2-a/b\ast y2;$然后对x1，y1做，递归解决，回溯时实行逆运算，最后找到最小解。

其实扩欧我们老早学过了，不过忘得差不多了，这次讲的时候听不进去，已经被任轩笛的骚操作秀到了。

类欧几里得：

额，抱歉，这个是真的挂了。在这个暑假之前我根本不知道有这个玩意。先是在hl集训中出现，然后在这里又讲了，可惜我完全看不懂公式啊。

$$\mathrm{solve}(n,A,B,C)=\sum _{i=1}^n\lfloor \frac{Ai+B}{C}\rfloor$$

这是我全程看得懂的一个公式（也就是定义）

中国剩余定理

有 n 个方程 x ≡ ai (mod pi)，pi 两两互质，求 x。

mb题 养猪

• 设$w_i={\prod }_{j̸=i}{p}_j$，则答案$\equiv {\sum }_{i=1}^n{a}_i\ast w_i\ast inv\left(w_i,p_i\right)$

inv为逆元

已知$x\equiv a_1\left(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{p}_1\right),x\equiv a_2\left(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{p}_2\right)$，若$d=\gcd \left(p_1,p_2\right)$
则$a_1\equiv a_2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}d)$成立

所以答案可以表示为$w\ast d+\left(a_1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}d\right)$

求得：

$$w\equiv \left(a_1/d\right)\left(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{p}_1/d\right),w\equiv \left(a_2/d\right)\left(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{p}_2/d\right)$$

每次把两个方程合并成一个模数是它们 lcm 的方程

费马小定理

时间不多长话短说：

费马小定理：p 是质数，则 $a^p\equiv a(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$

欧拉定理：

p>1,a,p互质，则$a^{\varphi (p)}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$

扩展欧拉定理

$p>1,n\ge \varphi (p)$情况下，存在

$$a^n\equiv a^{n\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\varphi (p)+\varphi (p)}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$$

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还有一个数论函数，不写了不写了，反正横竖也全是题目。

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算了，不能指望我听懂这些，果然听数论就是个错误的选择吗。

更可恶的是，任轩笛还嘲讽我们，唉，果然还是太菜了吗。