阶乘与整除

最新推荐文章于 2022-10-28 20:22:11 发布

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该博客探讨了如何判断一个32位整数n的阶乘是否能被另一个整数m整除。通过寻找不超过2^16的素数并分析m的素因数来优化算法，避免完全分解n到1。提供的C代码实现了一个名为`divides`的函数，用于检查这种整除关系，并在main函数中给出了一个示例应用。

题目详情

对于整数n，n的阶乘表示为n!定义如下

0! = 1

n! = n * (n - 1)!

给定n和m，问n!是否是m的倍数？

n和m全在32位整数范围内，m非0。

返回1和0表示整除和不整除。

这道题的关键一点是只需要找2^16内的素数, 因为n的范围是2^32,故它包含的素因子必然小于2^16,

可以分解m的素因子,在n到1的素因子中一一查找即可.而且这一过程不用分解n到1.如下代码所示动态查找.

#include<stdio.h>
#include<math.h>

int prime[65555];

int makePrime(int top)
{
    int i, j;
    for(i = 2; i <= 65555; i++)
    {
        prime[i] = 1;
    }

    for(i = 2; i <= top; i++)
    {
        if(prime[i] == 1)
        {
            for(j = i * 2; j <= top; j += i)
            {
                prime[j] = 0;
            }
        }
    }
    while(prime[top] == 0)
    {
        top--;
    }
    return top;
}

int divides (int n,int m)
{
    int i;
    int top = makePrime((int)ceill(sqrt(m)));
    for(i = 2; i <= top && m > 1; i++)
    {
        if(prime[i] == 1)
        {
            int c = 0;
            int max = i;
            while(m % i == 0)
            {
                m /= i;
                c++;
            }
            while(c > 0 && max <= n)
            {
                int n = max;
                while(n % i == 0)
                {
                    n /= i;
                    c--;
                }
                max += i;
            }
            if(c > 0)
            {
                return 0;
            }
        }
    }
    if(m > prime[top] && m > n)
    {
        return 0;
    }
    return 1;
}
//start 提示：自动阅卷起始唯一标识，请勿删除或增加。
int main()
{
    printf("%d",divides(123456789,333667));
}
//end //提示：自动阅卷结束唯一标识，请勿删除或增加。