洛谷P3723 [AH2017/HNOI2017]礼物

Description

我的室友最近喜欢上了一个可爱的小女生。马上就要到她的生日了，他决定买一对情侣手 环，一个留给自己，一个送给她。每个手环上各有 n 个装饰物，并且每个装饰物都有一定的亮度。但是在她生日的前一天，我的室友突然发现他好像拿错了一个手环，而且已经没时间去更换它了！他只能使用一种特殊的方法，将其中一个手环中所有装饰物的亮度增加一个相同的自然数 c（即非负整数）。并且由于这个手环是一个圆，可以以任意的角度旋转它，但是由于上面 装饰物的方向是固定的，所以手环不能翻转。需要在经过亮度改造和旋转之后，使得两个手环的差异值最小。在将两个手环旋转且装饰物对齐了之后，从对齐的某个位置开始逆时针方向对装饰物编号 1,2,…,n，其中 n 为每个手环的装饰物个数，第 1 个手环的 i 号位置装饰物亮度为 xi，第 2 个手 环的 i 号位置装饰物亮度为 yi，两个手环之间的差异值为(参见输入输出样例和样例解释)：${\sum }_{i=1}^n=(xi-yi{)}^2$麻烦你帮他计算一下，进行调整（亮度改造和旋转），使得两个手环之间的差异值最小， 这个最小值是多少呢？

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Input

输入数据的第一行有两个数n, m，代表每条手环的装饰物的数量为n，每个装饰物的初始 亮度小于等于m。

接下来两行，每行各有n个数，分别代表第一条手环和第二条手环上从某个位置开始逆时 针方向上各装饰物的亮度。

1≤n≤50000, 1≤m≤100, 1≤ai≤m

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Output

输出一个数，表示两个手环能产生的最小差异值。

注意在将手环改造之后，装饰物的亮度 可以大于 m。

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Solution

我们可以将修改全放在y。
假设$x_i$与$y_i+k$匹配，修改量为已知的c。
${\sum }_{i=1}^n(x_i-(y_{i+k}+c){)}^2={\sum }_{i=1}^n(x_i^2+y_{i+k}^2+c^2+2(y_{i+k}-x_i)c-2x_i{y}_{i+k})$
那么未知量只有${\sum }_{i=1}^{n}2x_i{y}_{i+k}$，即求$(x_i{y}_{i+k}{)}_{max}$
我们令i=n-i+1，即将x序列翻转，那么我们可以再翻转一次原序列，相当于没有翻转。

现在要求$(x_{n-i+1}{y}_{i+k}{)}_{max}$
这是明显的卷积形式。
我们将x和y看做两个多项式的系数，那么相乘后${\sum }_{i=1}^n{x}_{n-i+1}\times y_{i+k}的值$会在第n+k+1项
那么完全可以用FFT搞
为了避免麻烦的循环卷积 可以将y复制一遍接在原数组后面。

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Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const double Pi=acos(-1);
int N,M,l,n,m;
int r[2000010];
int s1[2000010];
int s2[2000010];
int s[2000010],ans=1e9;
complex<double> a[2000010],b[2000010];
void FFT(complex<double> *P,int opt){
    for(int i=0;i<N;i++)
	if(i<r[i]) swap(P[i],P[r[i]]);
    for(int i=1;i<N;i<<=1){
        complex<double> W(cos(Pi/i),opt*sin(Pi/i));
        for(int p=i<<1,j=0;j<N;j+=p){
            complex<double> w(1,0);
            for(int k=0;k<i;k++,w*=W){
                complex<double> X=P[j+k],Y=w*P[j+k+i];
                P[j+k]=X+Y;P[j+k+i]=X-Y;
            }
        }
    }
}
void work(){
    N=n-1; M=n+n-1;
    for(int i=0;i<=N;i++) a[i]=s1[i+1];
    for(int i=0;i<n;i++) b[i]=s2[n-i];
    for(int i=0;i<n;i++) b[i+n]=b[i];
    int lim=M+N;
    for(N=1;N<=lim;N<<=1)++l;
    for(int i=0;i<N;i++)
	r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
    FFT(a,1); FFT(b,1);
    for(int i=0;i<N;i++)a[i]=a[i]*b[i];
    FFT(a,-1);
    for(int i=0;i<=lim;i++)
	s[i]=(int)(a[i].real()/N+0.5);
}
int p1,p2,t1,t2,xy=-1e9;
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
	scanf("%d",&s1[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
	scanf("%d",&s2[i]); work();
    for(int i=1;i<=n;i++){
    	p1+=s1[i]*s1[i];
		p2+=s2[i]*s2[i];
		t1+=s1[i];
		t2+=s2[i];
	}
    for(int i=n-1;i<n+n;i++) xy=max(xy,s[i]);
    for(int C=-m;C<=m;++C){
        int sum=p1+p2+n*C*C+2*C*(t1-t2)-2*xy;
        ans=min(sum,ans);
    }
    printf("%d",ans);
}