二叉树和堆-学习笔记

1）树的相关概念

1. 节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6；
2. 叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I...等节点为叶节点；
3. 非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G...等节点为分支节点；
4. 双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点；
5. 孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点；
6. 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点；
7. 树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6；
8. 节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
9. 树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4；
10. 堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点；
11. 节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先；
12. 子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙；
13. 森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；

2）特殊的二叉树

• 满二叉树：每一层的结点数都是最大值，若其层数为k，则节点总数为 2^k - 1。
• 完全二叉树：对于层数为k、结点数为n的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时，称之为完全二叉树。满二叉树就是一种特殊的完全二叉树。（按照根、左、右的顺序，中间不能有缺的）

3）二叉树的性质

1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第 i 层上最多有 2^(i-1) 个结点；
2. 若规定根节点的层数为1，则深度为 h 的二叉树的最大结点数是 2^h - 1；
3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0的叶结点个数为m， 度为2的分支结点个数为n，则有m=n+1；
4. 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，
5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为 i 的结点有：若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，2i+1>=n否则无左孩子；若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，2i+2>=n否则无右孩子

4）二叉树的存储结构

1. 顺序存储：数组，只适合表示完全二叉树，现实中只有“堆”才会用数组来存储；
2. 链式存储：链表，每个结点有数据域、左指针、右指针。链式结构除二叉链表外，还有三叉链表，即还有一个指针指向parent，在红黑树等告诫数据结构中会涉及。

5）堆

这里说的堆是一种数据结构，与操作系统虚拟进程地址空间中的堆是两码事，不要混淆。

堆的概念：在一个集合中，将所有元素按照完全二叉树的顺序存储方式（从根节点开始，从左往右，一层一层往下）存储在一个一维数组中，并满足 K(i)<=K(2i+1) 且 K(i)<=K(2i+2) （或者K(i)>=K(2i+1) 且 K(i)>=K(2i+2) ）。将根节点最大的堆叫做大堆，根节点最小的堆叫做小堆。

堆的实现：向下调整算法（时间O(N) 空间O(h)） / 向上调整算法（O(N*logN)）。

堆排序：升序——建大堆，降序——建小堆。

TopK问题：解决思路：1. 前K个数，见小堆；2. 后N-K个数，依次比较，如果比堆顶大，就替换它进堆；3. 最后该小堆就是最大的前K个。

6）二叉树的遍历

注意在前序、中序、后序的遍历过程中，要递归，进栈帧！层序不用递归，按队列（先进先出）规则即可。

• 前序：根、左、右
• 中序：左、根、右
• 后序：左、右、根
• 层序：层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第1层的树根节点，然后从左到右访问第2层上的节点，接着是第3层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点。核心思想：上一层出时，带下一层进队，队列为空结束。