从飞机姿态控制看线性变换的本质

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#线性代数

于 2021-01-08 17:54:55 首次发布

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本文通过分析战斗机的偏航、俯仰和翻滚动作，探讨了线性变换在飞机姿态控制中的应用，利用线性代数理论解释了这些操作如何改变飞机的运行轨迹。同时，这一理论也可应用于机器人和机械臂的运动控制。文中详细阐述了各个动作的线性变换矩阵，并讨论了复合变换的理解方式，强调了特征向量在工程中的物理意义。

战斗机做机动动作的时候经常会执行偏航，俯仰和翻滚等动作，用来改变飞机的运行轨迹，这里面也蕴含了丰富的线性空间变换的思想和应用。本篇文章试图用线性代数的理论来解释这些操作具体是怎么做的，当然，同样的解释也可以用在机器人，机械手臂的运动上面。

方便起见，将坐标系选在飞机上，假定飞机处于 $xOy$ 平面，机头指向 $x$ 轴的正方向，左机翼指向 $y$ 轴的正向，飞机在 $xOy$ 平面飞行， $z$ 轴定义在飞行平面的法线方向，机头上面为正。如下图所示:

当飞机飞行时，三个坐标轴和飞机同时运动。

我们分别讲述:

1.偏航

偏航是一个在 $xOy$ 平面的旋转，以偏航45°为例，此时，飞机右转45°（顺时针方向),从三维线性变换的角度看，偏航就是关于 $z$ 轴的旋转，如果飞机机头的初始坐标表示为向量 $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}^T$ ,则偏航后，它的坐标仍然是 $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}^T$ ，这是因为坐标轴连同飞机一起旋转，暂且把变换前的坐标系统成为初始坐标系统，偏航45°后，机头相对于初始坐标系统的位置为：

$\begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2}\\ -\frac{\sqrt{2}}{2}\\ 0 \end{bmatrix}$

如果将偏航变换L堪称初始坐标系统的变换，则容易求得它的表示矩阵，如果L对那个的偏航角度为 $\theta$ ,则L将(1,0,0)和(0,1,0)分别旋转为点

$\begin{bmatrix} cos(\theta) & -sin(\theta) & 0 \end{bmatrix}^T$

和

$\begin{bmatrix} sin(\theta) & cos(\theta) & 0 \end{bmatrix}^T$

点 $\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}^T$ 在偏航时将保持不变，因为它在旋转轴上。对列向量，若 $\vec{y}_1, \vec{y}_2, \vec{y}_3$ 为L在 $R^3$ 中的坐标向量,则

$\vec{y}_1 = L(e_1)=\begin{bmatrix} cos(\theta)\\ -sin(\theta)\\ 0 \end{bmatrix}$

$\vec{y}_2 = L(e_2)=\begin{bmatrix} sin(\theta)\\ cos(\theta)\\ 0 \end{bmatrix}$

$\vec{y}_3 = L(e_3)=\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}$

则，偏航的变换矩阵为:

$Y=\begin{bmatrix} L(\vec{e}_1) & L(\vec{e}_2) & L(\vec{e}_3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cos(\theta) & sin(\theta) & 0\\ -sin(\theta) & cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

2.俯仰

飞机的俯仰是在 $xOz$ 平面的旋转，当角度为负时，机头向下旋转，反之，则向上。从三维空间线性变换的角度看，俯仰就是关于 $y$ 轴的旋转，正如偏航一样，也存在一个相对于初始坐标系的转移矩阵。若L是一个旋转角度为 $\theta$ 的俯仰变换，则L表示的矩阵为:

$P=\begin{bmatrix} L(\vec{e}_1) & L(\vec{e}_2) & L(\vec{e}_3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cos(\theta) & 0 & -sin(\theta)\\ 0 & 1 & 0\\ sin(\theta) & 0 & cos(\theta)\end{bmatrix}$

3.翻滚

飞机的翻滚是在 $yOz$ 平面的旋转，左翼向上，右翼向下，旋转为正方向。从三维空间线性变换的角度看，翻滚就是关于 $x$ 轴的旋转，类似于偏航和俯仰，可以i球的翻滚变换关于初始坐标系的转移矩阵。

$R=\begin{bmatrix} L(\vec{e}_1) & L(\vec{e}_2) & L(\vec{e}_3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & cos(\theta) & -sin(\theta)\\0 & sin(\theta) & cos(\theta)\end{bmatrix}$

如果先偏航角度 $\theta_1$ ，然后俯仰角度 $\theta_2$ ,这个复合变换是线性的，它的变换矩阵并不是乘积 $PY$ ，偏航的作用是将标准基向量 $\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3$ 转换到新的方向 $\vec{y}_1, \vec{y}_2, \vec{y}_3$ ,所以向量 $\vec{y}_1, \vec{y}_2, \vec{y}_3$ 将用于定义俯仰时新的 $x,y,z$ 轴的方向，接下来的俯仰变换是针对新的 $y$ 轴进行的（即向量 $\vec{y}_2$ 指示的方向),向量 $\vec{y}_1, \vec{y}_3$ 构成一个平面，而且在俯仰时，它们将在平面内一起旋转角度 $\theta_2$ ,向量 $\vec{y}_2$ 在俯仰时不受影响，因为它在旋转轴上。因此，符合变换L对于标准基向量的作用为:

$\vec{e}_1\stackrel{yaw}{\longrightarrow}\vec{y}_1\stackrel{pitch}{\longrightarrow}cos(\theta_2)\vec{y}_1+sin(\theta_2)\vec{y}_3$

$\vec{e}_2\stackrel{yaw}{\longrightarrow}\vec{y}_2\stackrel{pitch}{\longrightarrow}\vec{y}_2$

$\vec{e}_3\stackrel{yaw}{\longrightarrow}\vec{y}_3\stackrel{pitch}{\longrightarrow}-sin(\theta_2)\vec{y}_1+cos(\theta_2)\vec{y}_3$

标准基向量的象构成符合变换表示矩阵的列向量。

$\\ \begin{bmatrix} cos(\theta_2)\vec{y}_1+sin(\theta_2)\vec{y}_3 & \vec{y}_2 & -sin(\theta_2)\vec{y}_1+cos(\theta_2)\vec{y}_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \vec{y}_1 & \vec{y}_2 & \vec{y}_3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} cos(\theta_2) & 0 & -sin(\theta_2) \\ 0 &1 & 0 \\ sin(\theta2))&0 & cos(\theta_2) \end{bmatrix}=YP$

所以，符合变换的表示矩阵是分别表示偏航和俯仰的两个矩阵的成乘积，但乘积必须以相反的顺序进行，即偏航矩阵 $Y$ 在左，俯仰矩阵 $P$ 在右，类似的，偏航角度 $\theta_1$ ,然后俯仰角度 $\theta_2$ ，再翻滚角度 $\theta_3$ 的符合变换表示矩阵应为乘积

$YPR$

可以这样理解，假设依次经过偏航，俯仰，翻滚三次变换后，新坐标系中的向量 $\vec{v}$

则在翻滚变换前，向量为 $R\vec{v}$

俯仰变换前，向量为 $PR\vec{v}$

偏航变换前，向量为 $YPR\vec{v}$

所以

$\vec{v'} = YPR\vec{v}$

其中 $\vec{v'}$ 是变换前坐标系衡量的坐标， $\vec{v}$ 则是新坐标系下的坐标

$\vec{y}=A\vec{x}$

标准坐标系下的 $\vec{y}$ 向量等于 $A$ 坐标系下的 $\vec{x}$ 向量，可以写成:

$E\vec{y}=A\vec{x}$

类似于C语言编程中的变量定义.

int a;

double abc;

遵从“类型+对象”的形式，这里矩阵即使类型，对象即是向量坐标.

想到另外一种复合变换的理解方式：

假设初始坐标系为标准坐标系，保持不变，则 $R$ 变换是在 $Y$ 基的基础上进行的变换，所以，相对于原坐标系来说，假设坐标向量为 $\vec{x}$ ,变换后在原坐标系下的新坐标为 $Y\vec{x}$ ,变换算子为 $Y$ 。

变换后在原坐标系下坐标变为 $YPY^{-1}\vec{x}$ ,变换算子为 $YPY^{-1}$

所以，综合进行Y,R变换后，原向量 $\vec{x}$ 经过变换后在原来坐标系中的新坐标为变换算子相乘:

先进行Y变换，在进行R变换得到：

$YPY^{-1}\cdot Y=YP$

同样道理，将 $YP$ 看成一个变换，在它的基础上再进行 $R$ 变换，则R变换是在 $YP$ 基上进行的，同样道理，在原坐标系中， $R$ 变换算子应该是 $(YP)R(YP)^{-1} = YPRP^{-1}Y^{-1}$

所以，依次进行Y,P,R变换得到的复合变换应该是复合直观上的三次变换矩阵的乘法:

$T(\vec{x}) =(YPRP^{-1}Y^{-1})\cdot (YPY^{-1})\cdot (Y)\vec{x} = YPR$

其中 $YPRP^{-1}Y^{-1}$ ， $YPY^{-1}$ ， $Y$ 分别是从原坐标系角度，看到的 $R,P,Y$ 变换的变换矩阵，这样就符合右乘的直观理解了,过程如下图所示：

如下图所示：

这里一定刚要区分空间变换和视角变换：

视角变换：观察角度的变化，控件本身并未发生改变，矩形还是原来的矩形，正方形还是原来的正方形，空间结构没有发生变化。

空间变换：空间本身发生改变，空间被扭曲，拉伸等等，比如，矩形变成了平行四边形等等。这里要注意一种特殊的空间变换，就是正规矩阵引起的正交变换，正交变换不会扭曲，变形任何东西，但是它属于空间变换。

当然，这里可能需要假设，空间是存在绝对方位的，也就是存在真正的单位矩阵 $I$ .，从这个角度上说，视角变换可以看成一种特殊的空间变换。

实际上，线性代数高级教程中（非误人子弟的同济版)有一条定理，描述如下：

令

$E=\begin{bmatrix} \vec{v_1} & \vec{v_2}& \cdots & \vec{v_n} \end{bmatrix}$

以及

$F=\begin{bmatrix} \vec{w_1} & \vec{w_2}& \cdots & \vec{w_n} \end{bmatrix}$

为一个向量空间 $V$ 的两个有序基，并令 $L$ 为 $V$ 上的线性算子，令 $S$ 为从 $F$ 到 $E$ 的转移表示矩阵，若 $A$ 为 $L$ 相应于 $E$ 的表示矩阵，且 $B$ 为 $L$ 相应于 $F$ 的表示矩阵，则 $B=S^{-1}AS$ ,或者 $A=SBS^{-1}$

这条定理的证明也很简单：

把 $S$ 看成恒等变换 $\tau$ 相应于有序基

$F=\begin{bmatrix} \vec{w_1} & \vec{w_2}& \cdots & \vec{w_n} \end{bmatrix}$

和

$E=\begin{bmatrix} \vec{v_1} & \vec{v_2}& \cdots & \vec{v_n} \end{bmatrix}$

的表示矩阵，那么：

$S$ 为 $\tau$ 相应于 $F$ 和 $E$ 的表示矩阵：因为对于 $F$ 中向量 $\vec{x}$ 施加恒等变换 $I$ (也就是保持不变），相当与 $E$ 中的坐标 $S\vec{x}$

$A$ 为 $L$ 相应于 $E$ 的表示矩阵：所以 $[L(S\vec{x})]_E = AS\vec{x}$

$S^{-1}$ 为 $\tau$ 相应于 $E$ 和 $F$ 的表示矩阵：因为对于 $E$ 中向量施加恒等变换 $I$ (也就是保持不变），相当与 $E$ 中的坐标左乘 $S^{-1}$ ，也就是 $S^{-1} AS\vec{x}$

所以，相当于F中向量 $\vec{x}$ ，经过A变换后，得到F中的坐标 $S^{-1} AS\vec{x}$ ，所以，同一个变换，在E和F中的表示是不同的，但是它们具有相似关系。

将上面的定理映射到在 $Y$ 变换后俯仰的问题：

$L:$ 俯仰 $\theta$ 角度

$E:$ 初始坐标系

$F:$ 变换后的新坐标系

$B:$ 相对于新坐标系 $F$ 的变换,这里就是P

$A:$ P变换相对于 $E$ 的表示矩阵.

$S:$ 相对于新坐标系F的变换，这里就是 $Y$

套用上述公式，可以得到:

$P'=YPY^{-1}$

例：

假设
$\theta_1 = \frac{\pi}{4}, \theta_2=\frac{\pi}{6},\theta_3=\frac{\pi}{3}$

$Y=\begin{bmatrix} L(\vec{e}_1) & L(\vec{e}_2) & L(\vec{e}_3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cos( \frac{\pi}{4}) & sin( \frac{\pi}{4}) & 0\\ -sin( \frac{\pi}{4}) & cos( \frac{\pi}{4}) & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0\\ -\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

$P=\begin{bmatrix} L(\vec{e}_1) & L(\vec{e}_2) & L(\vec{e}_3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cos(\frac{\pi}{6}) & 0 & -sin(\frac{\pi}{6})\\ 0 & 1 & 0\\ sin(\frac{\pi}{6}) & 0 & cos(\frac{\pi}{6})\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & -\frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0\\ \frac{1}{2} & 0 & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{bmatrix}$

$R=\begin{bmatrix} L(\vec{e}_1) & L(\vec{e}_2) & L(\vec{e}_3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & cos(\frac{\pi}{3}) & -sin(\frac{\pi}{3})\\0 & sin(\frac{\pi}{3}) & cos(\frac{\pi}{3})\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{bmatrix}$

$Q=YPR=\begin{bmatrix} 0.612372 & 0.047367 &-0.789149 \\ -0.612372 & 0.659740 & -0.435596\\ 0.500000 & 0.750000 & 0.433013 \end{bmatrix}$

根据octave计算出来的特征值和特征向量，可以看出，两个复特征值互为共厄，对应的特征向量也是互为共厄的关系，组合向量有一个特征值为１，并且对应的特征向量是实向量，实际上，三维空间中的正交变换必定存在特征值为1的特征值（刚体变换，不改变刚体任何方向上的长度），这个特征值和特征向量有非常深刻的意义，它可以将上面的三种变换归为一种变换，特征向量对应的方向即是新变换的对称轴，我们后面在说．关于条的证明，请参考我的博文线性空间一些基本性质的证明30.（基本结论是：在三维空间中的刚体变换，一定存在一个对称轴，在对称轴方向上，刚体的尺度不发生变化（特征值为1)）

下图中 $\vec{OP}$ 是对称轴， $\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}$ 分别是原来的 $x,y,z$ 轴变换后的样子，注意整个变换相当于坐标系沿着 $\vec{OP}$ 做了一次旋转．