这篇博客深入探讨了线性代数中的特征值和特征向量概念，揭示了它们在实际问题中的意义。通过举例说明，解释了如何通过变换坐标系理解线性变换，并指出特征值反映了变化速度，特征向量则体现了稳定性。文章还讨论了相似矩阵在不同坐标系下的表现，以及如何找到两个相似矩阵间的坐标转换关系。作者批评了传统教学方式过于强调计算规则，呼吁更注重概念的理解。
大部分工科专业在学习现行代数会使用同济大学的教材，这本教材在传授过程中，全程给人一种莫名奇妙的感觉，从头到尾都在爱灌输一些莫名其妙的计算规则，所以，你可能在期末考试中考了高分，但仍然不明白现性代数的概念到底在实际中意味着什么，直到工作后，当看到一些四层相似的规则在某个领域中应用的时候，你才会大呼相见恨晚，恨不得从头把线性代数在从头学一变．
对于具有n个不同特征值的线性变换矩阵A来说
设其特征值以及对应的特征向量分别为：
转换一下形式：
令P,V分别等于
则上式等价 于:
两边左乘以V的逆，
V是特征值为对角的对角矩阵，而P是由特征向量为列组成的方阵。V为A的相似矩阵，表征同一个线性变换，只是观察的角度有差异。
现在我们可以建立两个世界坐标，第一个坐标是标准的坐标系：
第二个坐标系是由矩阵的特征向量组成的坐标系P：
我们尝试分析一下，如果不断的施加线性变换A，同一个向量
在如上两个坐标系中描述的坐标各是什么样子
设在P世界中的坐标为
由于线性变换是用E世界的矩阵A描述的，所以，如果需要对向量v施加A变换，必须将其首先转化为 E世界的坐标系坐标
根据转换关系：
对v(p)进行一次A变换，相当于对v(e)进行A变换，在转换为P世界的坐标，则
反向推导：
正向推导：
所以：
也就是经过m次的A变换后，E世界中的坐标已经面目全非，看不出任何规律，但是从P世界的角度看，向量的变换出奇的有规律，变换后的坐标全部是
的形式：
也就是
也就是经过m此A变换后，以P世界坐标轴描述的坐标沿每个坐标轴方向，长度伸长了对应特征值的
倍，其中i是对应P世界的某个坐标轴
所以，很明显，同一个线性变换，在E世界用很复杂的A来描述，但是在P世界，只要对角阵矩阵V即可描述。变换的特征一眼就能看出来。
以矩阵为例，
它的特征向量和特征值为：
特征向量是图中红色的部分：
我们将线性变换施加于坐标轴单位向量，得到下图，如图，经过线性变换A， 特征向量长度变为原来的3倍和5倍，方向不变。
经过两次线性变换：
特征向量再次扩大特征值的倍数。
对于任意向量，设其v世界坐标为(2,3),
转换到标准坐标系为
变换后呢
横纵坐标轴分别变为原来的5倍和3倍，正好是特征值。
现在我们换一个坐标系，看一下同样的线性变换，新的坐标系中的变换矩阵是什么样子
设新坐标系:
其中某点T在原坐标系的坐标为,(5.5,3.3)
经过线性变换后:
坐标变为
则新坐标轴下的线性变换可表示为：
测试等式成立,A`确实是新坐标系下的对等变换：
新的线性变换对应的特征向量和特征值为：
可见相似矩阵的特征值是相同的，但是特征向量明显不同，这是合理的，而且可以理论推导出，相似矩阵的特征向量之前满足简单的线性变换关系.
特征多项式相同，所以特征值一定相同：
特征向量不同，差着一个线性变换:
验证: ans归一化后得到的特征向量和A矩阵是相同的。
图形仿真的结果和理论推导完全吻合。
最后一个问题，上面已经得到结论，相似矩阵是同一个线性变换，只是在不同的坐标系下的观察角度不同，那么，如果已经知道两个矩阵是相似的(具有相同的特征值)，那么有没有办法得到两个矩阵的坐标系呢？
例如:
A,B是相似矩阵，
和 
代表两个矩阵到对角矩阵的相似变换．
则存在Ｐ，使得:
P就应该是Ｂ变换对应的坐标系，应该是多少呢？
由:
得到:
所以
同理，从Ｂ的角度
octave 举例如下：
相似转移和直接转移。
所以，结论就是这个样子,根据相似矩阵，也可以算得两个坐标系之间的转换矩阵．
不得不说，简单的逻辑蕴含着深刻的对称性原理，数学就是抓住本质的工具, 线性代数是非常有用的一门学科，即便对于非理工科的同学，里面的线性变换，矩阵，特征根，特征向量的概念对于塑造我们的世界观也有很大作用，可是呢，我们的线代教育上来就先介绍行列式，然后就是灌输一些毫无道理的规则，这对于喜欢对问题追根究底的同学是种折磨。
总结一下：
1.特征值是反映变化速度的量，反映了在多个变化因素里，谁占主导地位，谁决定了变化的速度
2.特征向量是反映稳定性的量，决定了变化的宿命,即决定了它最终向谁收敛。
扫一扫
455
被折叠的 条评论
为什么被折叠?
到【灌水乐园】发言
