【数据结构与算法】第八章：堆（最大堆、最小堆、堆排序、性能测试）

8.1、定义

• 堆是计算机科学中一类特殊的数据结构的统称，堆通常可以被看做是一棵 完全二叉树 的 数组对象

• 堆的特性（以大顶堆为例）

  1. 是特殊的 完全二叉树

     除了树的最后一层结点不需要是满的，其它的每一层从左到右都是满的，如果最后一层结点不是满的， 那么要求 左满右不满
     特殊之处：
     结点大于等于它的两个子结点；右子结点也不比它大

  

  2. 通常用 数组 来实现

     具体方法就是将二叉树的结点按照 层级顺序 放入数组中， 根结点在 位置1（数组索引0处不存储数据），它的子结点在位置2和3，而子结点的子结点则分别在位置4,5,6和7，以此类推

     

     • 如果一个结点的位置为 k，则它的父结点的位置为 k/2

     • 两个子结点的位置则分别为 2k 和 2k+1

       这样，在不使用指针的情况下，也可以通过计算数组的索引在树中上下移动：

       从 a[k] 向上一层，就令k等于 k/2

       向下一层就令k等于 2k 或 2k+1

  3. 每个结点都 大于等于 它的两个子结点

     这里要注意堆中仅仅规定了每个结点大于等于它的两个子结点，但这两个子结点的顺序并没有做规定，跟我们之前学习的二叉查找树是有区别的；可以左子结点大于右子结点

     区别于普通的二叉树：
     一般二叉树中右子结点大于父结点

8.2、API

8.3、实现

1）Insert

堆是用 数组 完成数据元素的存储的，由于数组的底层是一串连续的内存地址，所以要往堆中插入数据，只能往数组中从索引0处开始，依次往后存放数据，但是堆中对元素的顺序是有要求的，每一个结点的数据要 大于等于它的两个子结点的数据，所以每次插入一个元素，都会使得堆中的数据顺序变乱，这个时候就需要通过一些方法，让刚才插入的这个数据放入到合适的位置

所以，如果往堆中新插入元素，只需要不断的比较新结点 a[k] 和它的父结点 a[k/2] 的大小，然后根据结果完成数据元素的交换，就可以完成堆的有序调整。

2）delMax

由堆的特性可以知道，索引1处的元素，也就是根结点就 是最大的元素，把根结点的元素删除后，需要有一个新的根结点出现，这时可以 暂时把堆中最后一个元素放到索引1处，充当根结点，但是它有可能不满足堆的有序性需求，这个时候就需要通过一些方法，让这个新的根结点放入到合适的位置

所以，当删除掉最大元素后，只需要将最后一个元素放到索引1处，并不断的拿着当前结点 a[k] 与它的子结点a[2k] 和 a[2k+1] 中的较大者交换位置，即可完成堆的有序调整。

3）代码

package chapter06;

/**
 * @author 土味儿
 * Date 2021/9/8
 * @version 1.0
 * 堆
 */
public class Heap<T extends Comparable<T>> {
   
    /**
     * 存储元素的数组
     */
    private T[] items;
    /**
     * 元素个数
     */
    private int n;

    /**
     * 构造器
     *
     * @param capacity
     */
    public Heap(int capacity) {
   
        //this.items = (T[]) new Object[capacity+1];
        this.items = (T[]) new Comparable[capacity+1];
        this.n = 0;
    }

    /**
     * 插入元素t
     *
     * @param t
     */
    public void insert(T t) {
   
        // 在结尾插入
        items[++n] = t;
        // 让新元素上浮，找到合适的位置
        swim(n);
    }

    /**
     * 删除最大元素并返回
     *
     * @return
     */
    public T delMax() {
   
        // 最大元素
        T max = items[1];

        // 交换索引1处 和 最大索引处的元素，让完全二叉树中最右的元素成为临时根结点
        exch(1, n);

        // 删除交换后最大索引处的元素，即原根结点（最大元素）
        items[n] = null;

        // 元素数量减1
        n--;

        // 让新根结点下沉，找到合适位置
        sink(1);

        return max;
    }

    /**
     * 判断索引i处的元素是否比j处的小
     *
     * @param i
     * @param j
     * @return
     */
    private boolean less(int i, int j) {
   
        return items[i].compareTo(items[j]) < 0;
    }

    /**
     * 交换索引i处与j处的元素
     *
     * @param i
     * @param j
     */