数据结构（Course)6:二叉树与树概念

一、二叉树基本概念

度：节点拥有的子树个数。

树的度：内部结点度的最大值。

叶子：度为0的节点（没有分出的子节点）

节点层次：根在第一层，树的深度（高度）是最大的层次。

二叉树的五种

空二叉树、只有根节点、根节点只有左子树、只有右子树、左右子树。

特殊二叉树

满二叉树：所有节点都有左子树和右子树。

完全二叉树：最下一层节点集中在最左边。和满二叉树的编号相同，表明叶子上一层是满二叉树，叶子层从左侧开始。

性质：

1、第i层上最多有2^(i-1)个节点  （1、2、4）

2、深度为k的满二叉树有2^k-1个节点  （1、3、7）

3、终端叶子为n0,度为2的节点为n2个，则n0=n2+1

     推导：分支总数 n0+n1+n2-1=n1+n2*2

 4、具有n个节点个完全二叉树的深度为【log2  n】+1（【】表示取整）

      具有n个节点个满二叉树的深度为log2（n+1）  

完全二叉树的性质 ：
设一棵有n个结点的完全二叉树的所有结点按层次从左至右编号为从0到n-1，设某个结点的序号为i,0<=i< n,那么有如下性质： 
（1）i=1，说明该结点是根结点。 
（2）i>1，说明该结点的父结点为【i/2】（【】表示取整）。 
（3）左孩子是节点2*i
（4）右孩子是节点2*i+1。

存储结构

顺序存储结构只适用于完全二叉树（否则左侧有大量空单元)

二叉链表和三叉链表

二、树基本概念

1、有向有序树：子树的相对次序最重要。

2、链式存储结构：

动态“左子/右兄”二叉链表示法：左孩子是节点最左侧子节点，节点原来的右侧兄弟节点

将一棵复杂的树变成一棵二叉树

3、顺序存储结构

 

4、父指针表示法

路径压缩（并不关心H E D之间关系，只要求H的根节点D，直接指向根节点）

路径压缩使Find开销接近于常数。

三、转化关系

树化为二叉树：

1、加线：兄弟之间加一条线，这些线之后不去

2、去线：只留下长子

3、调整：顺时针旋转下，第一个孩子转换为右孩子

森林转化为二叉树：

1、每棵树转化为二叉树

2、第一棵二叉树不动，从第二棵开始，后一棵的根作为前一棵根节点的右孩子。

二叉树转为森林

1、加线：若左孩子存在，右孩子节点，右孩子的右孩子。。。。。都和双亲连上

2、去线：删除原来右孩子的连线