例如给定序列{ -2, 11, -4, 13, -5, -2 },其连续子列{ 11, -4, 13 }有最大的和20。现要求你编写程序,计算给定整数序列的最大子列和。
一.三层循环 O(n ^ n ^ n) 时间复杂度过高
//法一:三层循环 O(n^n^n)
int MaxSum(int a[], int n)
{
int i, j, k;
int thisSum, maxSum = 0;
for(i = 0; i < n; i++){
for(j = i; j < n; j++){
thisSum = 0;
for(k = i; k <= j; k++){
thisSum += a[k];
if(thisSum > maxSum){
maxSum = thisSum;
}
}
}
}
return maxSum;
}
二.两层循环 O(n ^ n)
在原来的基础上进行优化
//法二:两层循环 O(n^n)
int MaxSum(int a[], int n)
{
int i, j;
int thisSum, maxSum = 0;
for(i = 0 ; i < n; i++){
thisSum = 0;
for(j = i ; j < n; j++){
thisSum += a[j];
if(thisSum > maxSum){
maxSum = thisSum;
}
}
}
return maxSum;
}
三.分治算法 O(nlogn)
1.原理
对于一个规模为n的问题,若该问题可以容易地解,比如说规模n较小)则直接解决,否则将其分解为k个规模较小的子问题,这些子问题互相独立且与原问题形式相同,递归地解这些子问题,然后将各子问题的解合并得到原问题的解。
分----将原问题分解为规模更小的子问题
治----将这些规模更小的子问题逐个击破
合----将已解决的子问题合并,最终得出原问题的解
2.方法
①将序列从中分为左右两个子序列
②递归求得两个子列的最大和
③从中分点分头向左、右两边扫描,找出跨过分界线的最大子列和
④输出这三个子列和最大的一个
3.代码
//法三:分治算法 O(nlogn)
int Max3 ( int A, int B, int C ) /*返回三个整数的最大值*/
{
return (A > B) ? (A > C ? A : C) : (B > C ? B : C);
}
/*分治法求a[left]到a[right]的最大子列和*/
int DivideAndConquer ( int List[], int left, int right )
{
int MaxLeftSum, MaxRightSum; //存放左右子问题的解
int MaxLeftBorderSum, MaxRightBorderSum; //存放跨分界线的结果
int LeftBorderSum, RightBorderSum;
int center, i;
/*递归的终止条件,子列只有1个数字*/
if ( left == right ) {
if ( a[left] > 0 ){
return a[left];
}else{
return 0;
}
}
/* “分”的过程 */
center = ( left + right ) / 2; //找到中分点。
MaxLeftSum = DivideAndConquer ( a, left, center ); //递归求左子列和
MaxRightSum = DivideAndConquer ( a, center + 1, right ); //递归求右子列和
/*求跨分界线的最大子列和*/
MaxLeftBorderSum = 0; LeftBorderSum = 0;
for ( i = center; i >= left; i-- ) {
LeftBorderSum += a[i];
if ( LeftBorderSum > MaxLeftBorderSum ){
MaxLeftBorderSum = LeftBorderSum;
}
}//左边扫描结束
MaxRightBorderSum = 0; RightBorderSum = 0;
for ( i = center + 1; i <= right; i++ ) {
RightBorderSum += a[i];
if ( RightBorderSum > MaxRightBorderSum ){
MaxRightBorderSum = RightBorderSum;
}
}//右边扫描结束
/*返回“治”的结果*/
return Max3 ( MaxLeftSum, MaxRightSum, MaxLeftBorderSum + MaxRightBorderSum );
}
/*此函数用于保持接口相同*/
int MaxSum(int a[], int n)
{
return DivideAndConquer (a, 0, n-1 );
}
四.在线处理 O(n)
//法四:在线处理 O(n)
int MaxSum(int a[], int n)
{
int i;
int thisSum = 0, maxSum = 0;
for(i = 0 ; i < n; i++){
thisSum += a[i];
if(thisSum > maxSum){
maxSum = thisSum;
}
if(thisSum < 0){ //任何负的子序列都不可能是最大子序列的前缀
thisSum = 0;
}
}
return maxSum;
}