hdu2546（01背包问题）

饭卡   Problem Description 电子科大本部食堂的饭卡有一种很诡异的设计，即在购买之前判断余额。如果购买一个商品之前，卡上的剩余金额大于或等于5元，就一定可以购买成功（即使购买后卡上余额为负），否则无法购买（即使金额足够）。所以大家都希望尽量使卡上的余额最少。 某天，食堂中有n种菜出售，每种菜可购买一次。已知每种菜的价格以及卡上的余额，问最少可使卡上的余额为多少。     Input 多组数据。对于每组数据： 第一行为正整数n，表示菜的数量。n<=1000。 第二行包括n个正整数，表示每种菜的价格。价格不超过50。 第三行包括一个正整数m，表示卡上的余额。m<=1000。 n=0表示数据结束。     Output 对于每组输入,输出一行,包含一个整数，表示卡上可能的最小余额。     Sample Input 1 50 5 10 1 2 3 2 1 1 2 3 2 1 50 0     Sample Output -45 32   先拿5块钱买最贵的那个菜，剩下的即可转换为一个背包容量为m-5的背包问题。 关于为什么先拿5块钱买最贵的是最优解的问题： 最后买了一个菜不是最贵的 1、如果整个过程没有买最贵的，那么最后一个菜换成最贵的可以得到更好的结果。 2、过程中买了最贵的，那么把最贵的和最后一个互换可以得到相同的结果。 疑问：最后一个菜买最贵的和不买最贵的时候买的其他的菜不一样，这种不同的组合可能会产生更好的结果。 1、两次买的菜一样，则可以参照上述解释。 2、两次买的菜不一样，说明两个组合里有一个是更好的搭配， 假设不成立。   故状态方程为sum[i][j]=max(sum[i-1][j],sum[i-1][j-p[i]]+p[i]); sum[i][j]为对第i个物品做出选择后在金额为j的情况下的最大花销。p[i]为第i个物品的价格。即在对第i个物品做出选择（买或不买）时达到的最大花销为max（不买第i个物品时所有金额买其他的物品能达到的最大花销，买第i个物品时剩余金额买其他物品能达到的最大花销+p[i]）。 #include<iostream> #include<string.h> #include<algorithm> #include<vector> using namespace std; int main(void) { int n; int p[1001]; int m; while(cin>>n&&n) { memset(p,0,sizeof(p)); for(int i=1;i<=n;i++) cin>>p[i]; sort(p+1,p+n+1); cin>>m; if(m>=5) { int k=1001; vector<vector<int> > sum(k); for(int i=0;i<k;i++) sum[i].resize(k); for(int j=0;j<=m-5;j++)//对第一个物品进行选择 { if(j>=p[1]) { sum[1][j]=p[1];//够买则为p[1] } else sum[1][j]=0;//不够买为0 } for(int i=2;i<n;i++) for(int j=0;j<=m-5;j++) { if(j<p[i]) sum[i][j]=sum[i-1][j]; else sum[i][j]=max(sum[i-1][j],sum[i-1][j-p[i]]+p[i]); } int result=0; for(int i=1;i<n;i++) for(int j=0;j<=m-5;j++) { if(sum[i][j]>result) result=sum[i][j]; } m=m-result-p[n]; cout<<m<<endl; } else cout<<m<<endl; } return 0; } 遇到的问题，定义二维数组时int sum[1001][1001]时出错，但是数组较小时则不会，此处存疑。故改为用vector。   空间优化 状态方程：sum[j]=max(sum[j],sum[j-p[i]]+p[i]); 即采用更新的方式，等式左边sum[j]为当前外层循坏为i求得的值，右边sum[j]为外层循坏为i-1求得的值。 式中右边sum[j-p[i]]中j-p[i]<j,故内层循环采用逆序，即由大到小，否则式子右边sum[j-p[i]]不是前一个状态保留的值，而是当前状态更新过的值。 #include<iostream> #include<string.h> #include<algorithm> #include<vector> using namespace std; int main(void) { int n; int p[1001]; int m; while(cin>>n&&n) { memset(p,0,sizeof(p)); for(int i=1;i<=n;i++) cin>>p[i]; sort(p+1,p+n+1); cin>>m; if(m>=5) { int sum[1001]; for(int j=0;j<=m-5;j++) { if(j>=p[1]) { sum[j]=p[1]; } else sum[j]=0; } for(int i=2;i<n;i++) for(int j=m-5;j>=0;j--) { if(j<p[i]) sum[j]=sum[j]; else sum[j]=max(sum[j],sum[j-p[i]]+p[i]); } int result=0; for(int i=1;i<n;i++) for(int j=m-5;j>=0;j--) { if(sum[j]>result) result=sum[j]; } m=m-result-p[n]; cout<<m<<endl; } else cout<<m<<endl; } return 0； }