PAT L3-020 至多删三个字符

L3-020 至多删三个字符 （30 分）

给定一个全部由小写英文字母组成的字符串，允许你至多删掉其中 3 个字符，结果可能有多少种不同的字符串？

输入格式：

输入在一行中给出全部由小写英文字母组成的、长度在区间 [4, 10​6​​] 内的字符串。

输出格式：

在一行中输出至多删掉其中 3 个字符后不同字符串的个数。

输入样例：

ababcc

输出样例：

25

提示：

删掉 0 个字符得到 "ababcc"。

删掉 1 个字符得到 "babcc", "aabcc", "abbcc", "abacc" 和 "ababc"。

删掉 2 个字符得到 "abcc", "bbcc", "bacc", "babc", "aacc", "aabc", "abbc", "abac" 和 "abab"。

删掉 3 个字符得到 "abc", "bcc", "acc", "bbc", "bac", "bab", "aac", "aab", "abb" 和 "aba"。

思路

dp[i][j]表示的从前i个字符中删除恰好j个，剩下字符构成的字符串有多少种不同的，在上面样例中就是:

dp[6][0]=1;

dp[6][1]=5;

dp[6][2]=9;

dp[6][3]=10;

答案就是这些值累加。

如何递推dp[i][j],下面这个不完全对的式子还是容易想到的:

dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i-1][j-1]

dp[i-1][j]存储的是前i-1个字符里删除了j个之后能形成的字串个数，那如果我不删除第i个字符,前i个字符就还是只删除了j个字符,dp[i-1][j]的值就可以累加到dp[i][j]上；

dp[i-1][j-1]存储的时前i-1个字符删除了j-1个后能形成的字串个数，如果我接着把第i个字符删除,就相当于前i个字符删除了j个,那

dp[i-1][j-1]的值就可以累加到dp[i][j]上;

可是看似正确，会有重复计算

比如qwabda 一共6个字符长,这里假设递推式下标从1开始，dp[6][3]=dp[5][2]+dp[5][3];

而dp[5][2]是前5个里删2个，这肯定包括了删除第4第五个字符bd这种情况,然后再把第6个删除形成dp[6][3]的一员;

这相当于删除了bda 如右所示 qwabda

dp[5][3]里肯定包括了删除第3,4,5个字符的情况,如右所示 qwabda;

而这两种删除方式都会留下 qwa这个字串，说明有重复情况被累加了;

如何减去重复的次数,每当递推到一个dp[i][j]时,就从第i-1到第1个字符里倒着找有没有等于第i个字符的，找到第一个后停下，假设这个位置是k,那么[k,i-1]和[k+1,i]这两种删除方式得到的剩下的串就是相同的，参考上面红色的部分，而且从[k+1,i-1]这段是两种删除方式中都会删掉的,所以[k,i]这段里有i-k个字符被删掉了，要满足dp[i][j],就还需要从[1,k-1]这段里面删掉(j-(i-k))个字符，而

dp[k-1][j-(i-k))]就是从前k-1个字符中删除(j-(i-k))个字符能形成多少不同字串，这个值贡献到了dp[i][j]的计算中，而且这个值在计算dp[i][j]累加时被加了两次，现在减掉一倍的它就可以了,然后就break;去递推下一个dp[i][j+1]或者是该dp[i+1][j]；

为什么找到一个相同的后就break呢，比如qwwqabdaga这种,abda这里会需要去重，aga这里也会去重，代码里的循环是从左向右递推的,比dp[i][j]小的任意dp[i-k1][j-k2]都肯定是去过重了，在aga这部分去重时用到的前面的dp[i][j]一定是正确的，不会影响到后面。

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;

ll dp[1000010][4];
char ch[1000010];

int main()
{
    scanf("%s",ch+1);
    int len=strlen(ch+1);
    for(int i=0;i<=len;i++)dp[i][0]=1;//任意字符串删去0个字符的方案数只有1个，就是保持本身
    for(int i=1;i<=len;i++)
    {
        for(int j=1;j<=3;j++)
        {
            dp[i][j]+=dp[i-1][j-1];//删第i个字符，从前i-1个字符中删去j-1个，这样一共删j个
            dp[i][j]+=dp[i-1][j];//不删第i字符，从前i-1个字符中删j个，这样还是一共删j个
            for(int k=i-1;k>0&&j>=i-k;k--)
            {
                if(ch[i]==ch[k])
                {
                    dp[i][j]-=dp[k-1][j-(i-k)];
                    break;
                }
            }
        }
    }
    printf("%lld\n",dp[len][0]+dp[len][1]+dp[len][2]+dp[len][3]);
    return 0;
}