线上运筹优化公式推导

营销本质是个预算分配问题，即如何在有限资源约束下实现收益最大化。当用户进入营销场景时，我们需要确定是否给该用户发放红包以及发放红包面额。

选择发放用户和发放面额是一个典型的分组背包问题(MCKP, Multiple Choice Knapsack Problem)，在成本约束下的的券核销率最大化。

问题定义

min−∑i,jxijpij s.t. xij∈{ 0,1}∑jxij=1∑i,jxijcij≤C min -\sum_{i,j} x_{ij}p_{ij} \\ \begin{aligned} \text { s.t. } x_{ij} & \in \{0, 1\} \\ \sum_{j} x_{ij} &= 1 \\ \sum_{i,j} x_{ij} c_{ij} &\leq C \\ \end{aligned} min−i,j∑​xij​pij​ s.t. xij​j∑​xij​i,j∑​xij​cij​​∈{ 0,1}=1≤C​

• $x_{ij}$ 表示是否给用户$i$发放红包$j$
• $p_{ij}$ 表示用户$i$在红包$j$下的核销率，由量价模型预估产生
• $c_{ij}$ 表示给用户ii