运筹求解的最优点选择

上一节讲述了线上运筹发放红包的流程，但在实践中发现发券分布异常极端，倾向于发在两端，即要么最小面额（占绝大多数），要么最大面额。如果长期按照这种分布发放，将会极大影响用户核销体验以及平台订单的持久增长。

上述问题迫使我们思考，除了满足预算约束外，我们的量价模型还应该具备哪些能力？

美团的论文给出了答案：量价模型预估的核销率需满足单调递增和边际递减。

以下图为例进行证明：

单调递增性

利用反证法，假设最优发放点$(C_d,P_d)$是单调减的。

根据单调减可得：
$$\frac{P_d-P_c}{C_d-C_c}<0$$

根据最优发放可得：
$$\begin{gathered} P_d-\lambda C_d>P_c-\lambda C_c \\ \frac{P_d-P_c}{C_d-C_c}>\lambda >0 \end{gathered}$$

两者矛盾，所以最优发放点在单调增的曲线上。

边际递减

利用反证法，假设最优发放点$(C_d,P_d)$是边际递增的。

根据边际增可得：
$$\frac{P_b-P_a}{C_b-C_a}<\frac{P_c-P_b}{C_c-C_b}$$

根据最优发放可得：
$$\begin{gathered} P_b-\lambda C_b>P_a-\lambda C_a \\ {P}_b-\lambda C_b>P_c-\lambda C_c \\ \frac{P_b-P_a}{C_b-C_a}>\lambda \\ \frac{P_c-P_b}{C_c-C_b}<\lambda \\ \frac{P_b-P_a}{C_b-C_a}>\frac{P_c-P_b}{C_c-C_b} \end{gathered}$$

两者矛盾，所以最优发放点在边际递减的曲线上。

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参考

• A Multi-stage Framework for Online Bonus Allocation Based on Constrained User Intent Detection