算法2. 分治入门（采用递归实现）

原创已于 2024-11-16 17:42:52 修改 · 749 阅读

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#算法 #数据结构 #c++ #c#

于 2024-05-28 10:05:10 首次发布

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🤌具体实现-递归简介

框架：if {return} (base case最简单/基础的情况，可能不止一个）; else {return} (recursive case); 递归思想合理性的数学支撑-数学归纳法

递归用于分治--分而治之思想的代码实现之一-->看算法笔记递归部分

递归函数：不需要考虑递归函数是如何实施的，只需要考虑它该做什么！！一般而言题目要求什么就定义它的功能是什么

base case (递归边界）：思考角度1.递归到哪种情况下结束，如果一下想不清楚可以从recursive case 往后倒推<-->2.最简单的情况

递归表达式：f(n) = xxxxxxf(n-1)xxxx,也就是需要思考如何构建含有f(n-1)的表达式才能得到f(n);

1.最简单的递归：简单模拟，题目已经给出了递归的边界（base case)和递归表达式(recursive case)，按照它写就完了，比如斐波那契。

2.需要稍微思考递归边界（base case)和递归表达式:

递归函数：需要思考用什么（下标/个数/大小。。。）作为它的参数；一般而言题目要求输出的数据是什么类型，递归函数就定义为改类型，也即直接返回要求输出的数据（除了二维递归，它一般用全局数组记录结果，所以二维递归的递归函数一般定义为void）

递归表达式：

子问题(与原问题比：规模更小且具有相同结构）: f(n-1)

f(n) = xxxxxxf(n-1)xxxx,也就是需要思考如何构建含有f(n-1)的表达式才能得到f(n);

递归边界：无法再分割的情况

（1）🌰用递归实现返回一个反转字符串：

注意，递归函数reverseStr(int n)的参数n代表的是：字符个数，n个字符

（2）🌰求完全二叉树路径的最大值

晴问算法数塔，设树深度为n

难点：

数据存储：完全二叉树可用正方形数组a[n+1][n+1] （i/j从下标1开始存储）存，用a[i][j](数组的第i行第j列）存储树的第i行第j列数据；第i行只有i个数据；

递归表达式：假设塔顶是a[i][j], 则它的左子树塔顶为a[i+1][j], 右子树塔顶为a[i+1][j+1], 那么从该塔顶到塔底路径的最大值为F( i, j ）= a[i][j]. + max( F(i+1, j), F(i+1, j+1) )，也因此递归函数的参数可用int i, int j;

递归边界：当塔顶是完全二叉树树底其中之一的元素，即i == n时，F[i][j] = a[i][j];

（3)可以考虑两种递归边界的情况

🌰用递归判断回文字符

因为要求判断，所以递归函数的类型可为bool F(. );

难点：

递归边界：两个字符的情况即j == i+1, F(i, j) =. s[i] == s[j];

一个字符的情况即 i== j ,F(i, j) == true;

然后集成：i >= j时，返回true；

递归表达式：递归边界以外的情况，F(i, j) = (s[i] == s[j]) and F(i+1, j-1) ;

🌰上楼梯，最后一次抬脚可上一级/两级台阶，(类汉诺塔问题，解题思路一致，详见cs61a）

递归边界可以集成为if(n <= 1)，因为当n==2时，count(2) = count(1) + count(0)

(4) 汉诺塔问题(详见cs61a 递归部分视频）

A柱起始有n个盘，先把上面n-1个盘放到B（辅助柱temp)，再把最后一个放到C, 最后把temp柱子的n-1个移到C。(三步）

@要点：2个盘子及以上才需要借助第三方柱子（）

@难点：将以上具体的柱子用代数抽象成三个部分，也即char a, char b, char c , 三个抽象的代数。

～递归表达式： H(int n, char a, char b, chat c),

H( n-1, a, c, b )把from上的n-1（当作一个整体）个小盘子，借助c移动到b上；

H.move(1, a c);把a最底下的一个盘子,移动到c，题目要求我们打印出每一步骤：则该句转化的代码是：printf(" ->. ",a, c);

H(n-1, b ,a, c)

～递归边界： n == 1时，不需要借助第三方柱子，直接移动即可。（直接打印printf(" ->. ",from, to);）

c语法：printf("%d\n",(int)pow(2.0, n*1.0)-1 ); #include <cmath>

3.👀需要给递归表达式套上循环的复合处理

（1）🌰自然数分解之最大积

主思想：对自然数 n 的分解，有两“种”分解方案：i+(n-i) 和. i+F(n-i) 。递归的每一步都是把 n 减去某个数 i，然后继续递归分解 n-i。这就相当于在每一步确定了分解中的一个数，然后将剩余的部分继续递归分解。

递归函数：题目要求乘积最大值，那就定义递归函数为int f(int n) 并返回对n分解后的乘积最大值；

递归边界：明显当n == 1时，无法再对1分割，即边界为：if(n == 1) return 1;

递归表达式：如何从f(n-1)构建出表达式等于f(n)，有“两种”分解乘积方案： i * (n-i) 和 i* f(n-1), 所以f(n) = max ( i* (n-i), i*f(n-i) ) = i * max( n-i, f(n-i) ).

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
//递归函数直接返回要输出的数据
int f(int n) {

    if(n == 1)
        return 1;
    else
        {
            int Current_max = 1;
            for(int i = 1; i < n; i++)
                Current_max = max(Current_max, i * max(n-i, f(n-i)));
            return Current_max;
        }
}

int main() {
    int n;
    scanf("%d", &n);
    printf("%d\n", f(n));
    return 0;
}