一点感悟

还记得高中的时候喜欢和同学神侃——天南海北,古今中外,时政要闻,娱乐八卦——滔滔不绝,口若悬河,觉得自己知道得越多就越神气,特别是有人投来艳羡的神情自己就会更加得意,虽然脸上不表现出来,但内心切喜是一定的。那时候读书读报更多是为了炫耀。

大学了经常去读书馆,什么书都看——仅仅是看而已,书不停地往后翻,绝不在一页上停留30秒钟,还专门记个时,多少页的书要多长时间完成,逾期不候。总而言之一句话,绝对不带思考。那时候读书是为了打发时间。

后来学习电脑,还是按照以前的方法“读书”,为了学好专业嘛,现在思考了,但还是不会,只会考试。很郁闷很郁闷,不停为将来工作发愁。就当我心灰意冷的时候,就在电脑上开始一点一点把自己以前学习的HTML随便写了几句,用IE一打开,居然也是个网页。遗憾啊,我的编程实践竟然是从HTML开始的。虽然只是一个网页,但给我带来了巨大的成就感。接下来没有怎么看书了,经过这么多年才领悟到计算机是一门实践科学,在没有实践的情况下去读书实在没有。那时候我不看书了。

开始做工程了,同学不会,老师没有时间教,我只有重新拿起书本。久违了的书香味让我精神兴奋,奇怪的是现在看书不像以前那样总是很迷糊了。扫一眼代码就知道它是在说什么,几天就搞定好几本书了。确实着实忙了一阵,可是做到一半却发现进行不下去了——开始的架构就有问题。我们确实按照书本上来的,但是实践上还是与书本有出入,这些东西是言语表达不了的。那时我才真真理解了知行合一。

“知行合一”“理论与实践结合”很多道理早就知道了,但我总不照这个做。父母说我从小就不听话,我还觉得得意。现在在出版行业,要努力学习出版方面的知识;在工作中努力实践,时间分配一定要把握好,至少用1/3的时间来读书。 不只要读专业的书,还要读与专业相关的书。

### 矩阵范数概念 矩阵范数可以被定义为将矩阵映射到实数空间上的函数,满足特定的性质。这些性质通常包括正定性、齐次性和三角不等式[^3]。 #### 定义方式 根据不同的性质和应用需求,矩阵范数有多种定义方式: - **谱范数**:这是通过矩阵的最大奇异值来定义的一种范数,即 \(\sigma_{\text{max}}(A)\),其中 \(A\) 是给定矩阵。 - **诱导范数**:这类范数基于向量范数定义,具体来说就是对于任意非零向量 \(x\) 和对应的单位球面内的所有可能取值,求解表达式 \(\frac{\|Ax\|}{\|x\|\)} 的最大值作为该矩阵在此种向量范数下的范数值。 - 向量范数推广至矩阵的情况也存在,但由于矩阵间还涉及乘法操作,在构建此类范数时需特别注意这一点[^4]。 ### 类型介绍 常见的几种矩阵范数如下表所示: | 名称 | 描述 | | --- | --- | | Frobenius Norm (Fro) | 所有元素平方之和开根号的结果;类似于欧氏距离的概念应用于整个矩阵中。<br>公式表示为:\[ \| A \|_F = (\sum_i^n \sum_j^m a_ij ^2)^{0.5} \][^1]| | Spectral Norm (Spe) or Operator 2-Norm | 前述提到过的由最大奇异值得来的度量标准。<br>\[ \| A \| _ {op,2}=σ_max(A)=sup_x≠0 {\dfrac{{|| Ax ||}_2 } {{|| x ||}_2 }} \]| | Infinity Norm (∞) | 行内绝对值最大的那个数。<br>\[\| A \|_\infty=\max_i\left(\sum_j^n |a_{ij}|\right)\][^1]| 另外还有其他类型的 p-范数(如一阶范数),它们可以通过调整 `ord` 参数利用 Python 中 numpy 库轻松实现计算[^2]。 ```python import numpy as np matrix_example = np.array([[1., -2j], [2.+7j, 8]]) frob_norm = np.linalg.norm(matrix_example, 'fro') # 计算弗罗贝尼乌斯范数 spec_norm = np.linalg.norm(matrix_example, 2) # 计算谱范数 inf_norm = np.linalg.norm(matrix_example, np.inf) # 计算无穷大范数 print(f"Frobenius norm is {frob_norm}") print(f"Spectral norm is {spec_norm}") print(f"Infinity norm is {inf_norm}") ``` ### 应用场景举例 矩阵范数广泛存在于多个领域之中,比如但不限于: - 数值稳定性评估:当讨论算法收敛速度或误差传播等问题时,常常会涉及到条件数这一指标,而后者又依赖于某些形式的矩阵范数来进行量化描述; - 图像识别等领域中的模式匹配任务也可能借助不同种类的矩阵范数完成特征提取工作
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