Acwing 基础算法之：第五章动态规划

togph

已于 2023-05-17 22:41:00 修改

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文章标签：算法动态规划 python

于 2023-05-07 23:16:10 首次发布

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/togph/article/details/130549900

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第五章动态规划

背包问题

01背包问题

状态f[j]的定义：表示取前i件物品，在背包容量不超过j的前提下，能得到的最大价值
由于这里做了优化：由二维优化到一维，所以在进行第i次遍历的时候要保证用到的状态是由i-1转移过来
所以背包体积的遍历就需要从大到小遍历，遍历的最小值必须要满足j - v[i] ≥0

for i in range(1,N+1):
    for j in range(V,self.v[i]-1,-1):
        """
                1. j - self.v[i] 恒小于j，所以j的遍历必须从大到小进行遍历，否
                   则j - self.v[i]就是由第i层进行更新了
                2. 由于j需要大于等于vi，所以j的遍历直接从vi开始即可
                """
        self.f[j] = max(self.f[j],self.f[j - self.v[i]] + self.w[i])

AcWing 2. 01背包问题

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。

第 i 件物品的体积是 $v_i$ ，价值是 $w_i$ 。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 $v_i,w_i$ ，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤1000
$0<v_i,w_i≤1000$

输入样例

输出样例：

朴素版：
- 集合f[i][j] ：表示从前i个物品中选取，物品总体积不超过j的集合
- 属性f[i][j]：表示最大价值
- 状态转移 :
  - 不选第i个物品：最大价值就等于f[i][j] = f[i-1][j]
  - 选择第i个物品：最大价值就等于f[i][j] = max(f[i-1][j-v[i]]+w[i],f[i][j])

# 朴素版
class Solution:
    def __init__(self):
        N = 1010
        self.f = [[0] * N for _ in range(N)]
        self.v = [0] * N
        self.w = [0] * N
    def main(self):
        n,m = map(int,input().split())
        for i in range(1,n+1):
            v,w = map(int,input().split())
            self.w[i] =  w
            self.v[i] = v

        for i in range(1,n+1):
            for j in range(m+1):
                self.f[i][j] = self.f[i-1][j]
                if j >= self.v[i]:
                    self.f[i][j] = max(self.f[i][j],self.f[i-1][j-self.v[i]] + self.w[i])

        print(self.f[n][m])

if __name__ == '__main__':
    solution = Solution()
    solution.main()

一维数组优化：
- 由于第i层计算的最大价值只与第i-1层有关，所以考虑滚动数组优化
- 对朴素版状态转移进行优化self.f[i][j] = max(self.f[i][j],self.f[i-1][j-self.v[i]] + self.w[i])
- 去掉第一维，就得到self.f[j] = max(self.f[j],self.f[j-self.v[i]] + self.w[i])
- 但是要由于self.f[j-self.v[i]]中的j-self.v[i]恒小于j，所以如果背包体积如果从小到大进行遍历，第i层计算所用到的数组就是被第i层已经更新过；所以这里背包容量的遍历就需要从大到小进行遍历

# 优化版
class knapsack:
    def __init__(self):
        N = 1010
        self.f = [0] * N
        self.w = [0] * N
        self.v = [0] * N
    def main(self):
        N,V = map(int,input().split())
        for k in range(1,N+1):
            v,w = map(int, input().split())
            self.w[k] = w
            self.v[k] = v
        # 由于i只跟i-1的状态有关，所以可以对二维数组进行优化，优化成滚动数组
        for i in range(1,N+1):
            for j in range(V,self.v[i]-1,-1):
                """
                1. j - self.v[i] 恒小于j，所以j的遍历必须从大到小进行遍历，否
                   则j - self.v[i]就是由第i层进行更新了
                2. 由于j需要大于等于vi，所以j的遍历直接从vi开始即可
                """
                self.f[j] = max(self.f[j],self.f[j - self.v[i]] + self.w[i])
        print(self.f[V])
if __name__ == '__main__':
    knapsack = knapsack()
    knapsack.main()

完全背包问题

朴素版：
- 集合f[i][j] ：表示从前i个物品中选取，物品总体积不超过j的集合
- 属性f[i][j]：表示最大价值
- 状态转移 : self.f[i][j] = max(self.f[i][j],self.f[i-1][j-k*self.v[i]] + self.w[i] * k)
  - 不选第i个物品：最大价值就等于f[i][j] = f[i-1][j]
  - 第i个物品选1个：最大价值就等于f[i][j] = max(f[i-1][j-v[i]]+w[i],f[i][j])
  - 第i个物品选2个：最大价值就等于f[i][j] = max(f[i-1][j-v[i]]+w[i],f[i-1][j-2*v[i]]+2*w[i],f[i][j])
  - ……
滚动数组优化：
- 集合f[j] ：表示从前i个物品中选取，物品总体积不超过j的集合
- 属性f[j]：表示最大价值
- 状态转移 :
  - f[i , j] = max( f[i-1,j] , f[i-1,j-v]+w , f[i-1,j-2*v]+2*w , f[i-1,j-3*v]+3*w , .....)
  - f[i , j-v]= max( f[i-1,j-v] , f[i-1,j-2*v] + w , f[i-1,j-3*v]+2*w , .....)
  - 由上两式，可得出如下递推关系： f[i][j]=max(f[i][j-v]+w , f[i-1][j])
  - 优化一维后：f[j]=max(f[j-v]+w , f[j])
  - 注意：优化前f[i][j-v]+w为第i层计算后的值，所以这里遍历顺序需要从小到大遍历

AcWing 3. 完全背包问题

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包，每种物品都有无限件可用。

第 i 种物品的体积是 $v_i$ ，价值是 $w_i$ 。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 $v_i,w_i$ ，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积和价值。