拉格朗日插值验证龙格现象python_使用python拉格朗日插值验证龙格现象-优快云博客

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本文通过Python代码展示了拉格朗日插值在处理多个样本数据时可能出现的龙格现象，即随着插值次数增加，误差可能增大。使用numpy和scipy库构建了插值多项式，并对比了原始函数与插值结果，揭示了高阶插值的不稳定性。

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拉格朗日（Lagrange）插值原理

拉格朗日（Lagrange）插值公式的基本思想是把的构造问题转化为 n+1 个插值基函数。很多人可能觉得样本数据越多，得到的插值数据会越精确，这样想法是不正确的。理论上说，样本数据过多，得到的插值函数的次数就越高，插值的结果的误差可能会更大。拉格朗日插值的稳定性不太好，出现不稳定的现象称为龙格现象, 接下来, 我们将验证龙格现象。


import numpy as np 
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.interpolate import lagrange


def fun(x): 
    """
    定义龙格函数
    """
    return 1/(1 + 25 * x**2)

plt.figure(figsize=(8,6))

for n in range(3, 12, 2):

    # 取得龙格函数的 x, y 值
    x=np.linspace(-1, 1, n)
    y=fun(x) 

    # 生成对应的拉格朗日多项式
    p = lagrange(x, y)

    # 描点绘图
    xi = np.linspace(-1, 1, 100)
    yi= p(xi)

    plt.plot(xi,yi,lw=0.7,label="n=%d"%(n-1))


plt.plot(xi,fun(xi),'k-',label=r"$\frac{1}{1 + 25x^{2}}\qquad$")
plt.xlabel("x",fontdict={"fontsize":12})
plt.ylabel("y",fontdict={"fontsize":12})
plt.title("Runge phenomenon of lagrange interpolation of different orders",fontdict={"fontsize":14})
plt.legend()
plt.show()