利用四元树来计算一个坐标点绕任意轴旋转后，新坐标点的推导过程

 利用四元树来计算一个坐标点绕任意轴旋转后，新坐标点的推导过程（参考《(中文版)3D数学基础图形与游戏开发.pdf》）：

 

 

参考源代码：

void Quaternion::setToRotateAboutAxis(const Vector3 &axis, float theta)

{

// The axis of rotation must be normalized

assert(fabs(vectorMag(axis) – 1.0f) < .01f);

// Compute the half angle and its sin

float thetaOver2 = theta * .5f;

float sinThetaOver2 = sin(thetaOver2);

// Set the values

w = cos(thetaOver2);

x = axis.x * sinThetaOver2;

y = axis.y * sinThetaOver2;

z = axis.z * sinThetaOver2;

}

 

最终的R(n, θ)矩阵为：

――――――

OSG中将四元树转换为矩阵（Matrix_implementation.cpp）：

#define QX  q._v[0]

#define QY  q._v[1]

#define QZ  q._v[2]

#define QW  q._v[3]

void Matrix_implementation::setRotate(const Quat& q)

{

double length2 = q.length2();

。。。。。。

rlength2 = 2.0/length2;

 

x2 = rlength2*QX;

        y2 = rlength2*QY;

        z2 = rlength2*QZ;

       

        xx = QX * x2;

        xy = QX * y2;

        xz = QX * z2;        

yy = QY * y2;

        yz = QY * z2;

        zz = QZ * z2;

       

        wx = QW * x2;

        wy = QW * y2;

        wz = QW * z2;

_mat[0][0] = 1.0 - (yy + zz);

        _mat[1][0] = xy - wz;

        _mat[2][0] = xz + wy;       

       

        _mat[0][1] = xy + wz;

        _mat[1][1] = 1.0 - (xx + zz);

        _mat[2][1] = yz - wx;

        

        _mat[0][2] = xz - wy;

        _mat[1][2] = yz + wx;

        _mat[2][2] = 1.0 - (xx + yy);

}

――――――

3.从矩阵转换到四元树：

OSG中将矩阵转换为四元树（Matrix_implementation.cpp）：

#define QX  q._v[0]

#define QY  q._v[1]

#define QZ  q._v[2]

#define QW  q._v[3]

Quat Matrix_implementation::getRotate() const

{

    Quat q;

    value_type s;

    value_type tq[4];

    int    i, j;

    // Use tq to store the largest trace

    tq[0] = 1 + _mat[0][0]+_mat[1][1]+_mat[2][2];

    tq[1] = 1 + _mat[0][0]-_mat[1][1]-_mat[2][2];

    tq[2] = 1 - _mat[0][0]+_mat[1][1]-_mat[2][2];

    tq[3] = 1 - _mat[0][0]-_mat[1][1]+_mat[2][2];

 

    // 找4个中最大的

    j = 0;

    for(i=1;i<4;i++) j = (tq[i]>tq[j])? i : j;

 

    // check the diagonal

    if (j==0)

    {

        /* perform instant calculation */

        QW = tq[0];

        QX = _mat[1][2]-_mat[2][1];

        QY = _mat[2][0]-_mat[0][2];

        QZ = _mat[0][1]-_mat[1][0];

    }

    else if (j==1)

    {

        QW = _mat[1][2]-_mat[2][1];

        QX = tq[1];

        QY = _mat[0][1]+_mat[1][0];

        QZ = _mat[2][0]+_mat[0][2];

    }

    else if (j==2)

    {

        QW = _mat[2][0]-_mat[0][2];

        QX = _mat[0][1]+_mat[1][0];

        QY = tq[2];

        QZ = _mat[1][2]+_mat[2][1];

    }

    else /* if (j==3) */

    {

        QW = _mat[0][1]-_mat[1][0];

        QX = _mat[2][0]+_mat[0][2];

        QY = _mat[1][2]+_mat[2][1];

        QZ = tq[3];

    }

 

    s = sqrt(0.25/tq[j]);

    QW *= s;

    QX *= s;

    QY *= s;

    QZ *= s;

 

    return q;

}