CodeForces 1467D :Sum of Paths DP + 贡献

最新推荐文章于 2021-04-07 09:55:24 发布

原创最新推荐文章于 2021-04-07 09:55:24 发布 · 112 阅读

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CC 4.0 BY-SA版权

本文介绍了一种算法，用于解决在一个长度为n的线段上，每次移动一步，共移动m次的所有可能路径的价值总和问题。该算法通过预处理每个点的贡献值并动态更新点值来高效地应对多次查询与修改。

传送门

题目描述

一个长度为 $n$ 的线段，每个点都有一个价值 $a_{i}$ ，每经过这个点都会加上这个点的值，你可以从任意点开始，每次可以向左移动一格或者向右移动一格，问你移动 $m$ 次，所有可能的路径的的值的和是多少
$q$ 次修改，每次都会修改一个点的 $a_{i}$

分析

因为涉及到所有的方案，而这个数据范围肯定不会把每条路线弄出来，所以我们可以想办法把把这个路线给抽象出来
我们可以计算出每个点的贡献，也就是每个点经过的次数

 f[j][i] = (f[j - 1][i - 1] + f[j + 1][i - 1]) % mod;

然后，我们去枚举 $i, j$ ，假设我们第 $j$ 步走到了 $i$ ，那么这条路径一共可能的情况一共有 $f [i] [j] * f [i] [m - j]$ ，也就是说点 $i$ 一共经过了这么多次，所以这就是他的贡献值
最后求一下每个点的和， $q$ 次修改即可

代码

#pragma GCC optimize(3)
#include <bits/stdc++.h>
#define debug(x) cout<<#x<<":"<<x<<endl;
#define dl(x) printf("%lld\n",x);
#define di(x) printf("%d\n",x);
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define all(x) (x).begin(),(x).end()
#define fi first
#define se second
#define SZ(x) ((int)(x).size())
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> PII;
typedef vector<int> VI;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int N = 5010;
const ll mod= 1000000007;
const double eps = 1e-9;
const double PI = acos(-1);
template<typename T>inline void read(T &a){char c=getchar();T x=0,f=1;while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0';c=getchar();}a=f*x;}
int gcd(int a,int b){return (b>0)?gcd(b,a%b):a;}
ll f[N][N],cnt[N];
ll a[N];
ll res;
int n,m,q;

int main(){
    read(n),read(m),read(q);
    for(int i = 1;i <= n;i++) {
        read(a[i]);
        f[i][0] = 1;
    }
    for(int i = 1;i <= m;i++)
        for(int j = 1;j <= n;j++)
            f[j][i] = (f[j - 1][i - 1] + f[j + 1][i - 1]) % mod;
    for(int i = 1;i <= n;i++)
        for(int j = 0;j <= m;j++)
            cnt[i] = (cnt[i] + (f[i][j] * f[i][m - j]) % mod) % mod;
    for(int i = 1;i <= n;i++) res = (res + (a[i] * cnt[i]) % mod) % mod;
    while(q--){
        int pos,x;
        read(pos),read(x);
        res = (res - a[pos] * cnt[pos] % mod + mod) % mod;
        a[pos] = x;
        res = (res + a[pos] * cnt[pos] % mod) % mod;
        dl(res);
    }
    return 0;
}

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