采用Cardinal法构造插枝分段三次样条曲线 : 原理篇

       Cardinal样条是插值分段三次曲线,并且每条曲线段的终点位置均指定切线.不过Cardinal样条不用给出终点的切线值.在Cardinal样条中,一个控制点的斜率可以由两个相邻控制点的坐标进行计算.

       一个Cardinal样条可由4个连续控制点完全确定,中间2个控制点是曲线段端点,其他两个点用于计算曲线段端点斜率.

       设4个连续控制点为P_k-1,P_k,P_k+1,P_k+2,设P(u)是控制点P_k和P_k+1之间的参数三次函数式(u为参数), 则从P_k-1到P_k+2间的4个点用于建立Cardinal样条的边界条件为:

       P(0) = P_k

       P(1) =  P_k+1

       P'(0) = (1 - t) * (P_k+1 - P_k-1)                                     (1)

       P'(1) = (1 - t) * (P_k+2 - P_k)

 

       也就是说,控制点P_k和P_k+1处的斜率分别与弦P_k+1P_k-1和P_k+2P_k成正比.

       t: 参数t为张力(tension)系数,因为t控制Cardinal样条与输入控制点之间的松紧程度,当t为0的时候,Cardinal样条又称为Catmull-Rom样条或Overhauser样条.

 

       解上面的4个方程,并将之转换成矩阵形式,如下:

                                 (2)

                           

其中, Cardinal矩阵是:

                                 (3)

               其中    s = (1 - t) / 2        

 

将矩阵方程(2)展开成多项式形式,可以得到

 

       P(u) = P_k-1(-su³+ 2su² - su) + P_k[(2 - s)u³ + (s - 3)u² + 1] + P_k+1[(s - 2)u³ + (3 – 2s)u² + su] + P_k+2(su³ - su³)