22、时间序列建模的高斯混合模型

时间序列建模的高斯混合模型

1. 时间序列预测与插补

高斯混合模型适用于短期到中期的时间序列预测。例如，对于按月测量且有季节性的时间序列，可使用回归因子大小为 24（两年）来训练高斯模型。这样能利用过去一年的测量值作为前 12 个月，确定接下来 12 个月的条件期望。

具体步骤如下：
1. 计算所属分量的概率 ：
将输入维度划分为过去值 $P$（已知）和未来值 $F$（未知）。对于仅已知过去值 $x_P^i$ 且要进行预测的样本，计算其属于每个分量的概率：
[
t_{ik} = \frac{\pi_k N(x_P^i | \mu_k, \Sigma_k)}{\sum_{j=1}^{K} \pi_j N(x_P^i | \mu_j, \Sigma_j)}
]
其中，$N(x_P^i | \mu_k, \Sigma_k)$ 是 $x_i$ 观测（即过去）值的边际多元正态分布概率密度。
2. 计算各分量的条件期望 ：
各分量的均值和协方差也按过去和未来变量划分：
[
\mu_k =
\begin{pmatrix}
\mu_P^k \
\mu_F^k
\end{pmatrix}
,
\Sigma_k =
\begin{pmatrix}
\Sigma_{PP}^k & \Sigma_{PF}^k \
\Sigma_{FP}^k & \Sigma_{FF}^k
\end{pmatrix}
]
则关于分量