6、MCMC、Stan与数学基础：理论、实践与应用

MCMC、Stan与数学基础：理论、实践与应用

1. MCMC与Stan的实践应用

在统计建模和贝叶斯推断中，马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）方法与Stan编程语言是强大的工具。下面将介绍它们在不同场景下的应用，包括计算经验损失、多元回归和正态分布混合模型。

1.1 计算经验损失

在计算经验损失时，我们可以使用以下代码：

log_likelihood_mean = np.mean(np.exp(log_likelihood), axis=1)
-np.mean(np.log(log_likelihood_mean))

上述代码通过对 log_likelihood 进行指数运算后求均值，再取对数并求平均的负值，得到经验损失，这是计算WAIC（Widely Applicable Information Criterion）所需的量。

1.2 多元回归

多元回归是估计截距、斜率和噪声方差的问题。假设对于每个$i = 1, \ldots, n$，有独立关系$y_i = \beta_0 + x_i\beta + e_i$，其中$e_i \sim N(0, \sigma^2I_n)$。下面是一个使用Stan进行多元回归的示例：

import numpy as np
import pandas as pd
import statsmodels.api as sm
import pystan
import arviz as az

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