5、蒙特卡罗方法与Stan实践：深入解析与应用

蒙特卡罗方法与Stan实践：深入解析与应用

1. 引言

在统计分析和机器学习领域，马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）方法是一种强大的工具，用于从复杂的概率分布中采样。本文将深入探讨Hamiltonian Monte Carlo（HMC）方法以及Stan在实际应用中的使用，包括其原理、代码实现和具体案例分析。

2. 预备知识与相关策略

在介绍HMC方法之前，我们先了解一些相关的概念和策略。

2.1 抽样策略：Thinning

Thinning是一种用于减少序列中相邻值自相关性的策略。在MCMC中，并非使用参数后验分布序列的所有值，而是每隔几个值（如θ2k和θ3k + 1）进行采样。

2.2 Metropolis - Hastings方法的局限性

Metropolis - Hastings方法在设置更新规则时，很难选择最优方法。例如，在某些情况下使用N(σ, 0.52)来选择下一个σ，但标准差0.5的选择缺乏依据。如果标准差过小，可能会导致序列之间的强相关性和遍历性不足。

3. Hamiltonian Monte Carlo方法

Stan采用Hamiltonian Monte Carlo（HMC）方法替代Metropolis - Hastings方法。HMC方法通过应用Hamilton方程，无需依赖随机游走，就能在保持低拒绝率的同时显著改变状态。

3.1 Hamiltonian与Hamilton方程

设θ(t) = [θ1(t), …, θd(t)]⊤和p(t) = [p1(t), …, pd(t)]⊤分别为d