4、布尔算术：计算机运算的基石

布尔算术：计算机运算的基石

1. 算术运算概述

通用计算机系统需要对有符号整数执行多种算术运算，主要包括：
- 加法
- 符号转换
- 减法
- 比较
- 乘法
- 除法

其中，加法是最为基础且重要的运算。在数学和计算机科学中，数字计算机执行的所有功能，不仅仅是算术运算，都可以归结为二进制数的加法。因此，深入理解二进制加法是理解计算机硬件许多基本操作的关键。

2. 二进制数

在计算机内部，所有信息都以二进制代码表示。例如，当我们在键盘上输入 1、9 并按下回车键来回答“给出一个质数的例子”时，计算机内存中存储的是二进制代码 10011。当我们要求计算机在屏幕上显示这个值时，计算机的操作系统会先计算 10011 所代表的十进制值（即 19），将这个整数值转换为字符 1 和 9，查找当前字体并获取用于在屏幕上渲染这些字符的两个位图图像，最后让屏幕驱动程序打开和关闭相关像素，从而在屏幕上显示出 19。

计算机使用固定字长来表示整数。常见的字长有 8 位、16 位、32 位或 64 位寄存器。固定字长意味着这些寄存器所能表示的值的数量是有限的。例如，使用 8 位寄存器表示非负整数时，可以从 00000000 表示 0，00000001 表示 1，一直到 11111111 表示 255。一般来说，使用 n 位可以表示从 0 到 (2^n - 1) 的所有非负整数。

对于负数的二进制表示，后续会介绍一种非常优雅的方法——补码表示法。而对于超出固定寄存器大小允许的最大和最小值的数字，高级语言提供了处理大数字或小数字的抽象方法，通常是通过连接多个 n 位寄存器来实现。但由于