数理统计 笔记

三

1.马尔科夫不等式

E(x)=∫−∞∞xf(x)dx=∫−∞εxf(x)dx+∫ε∞xf(x)dx≥∫ε∞xf(x)dx≥∫ε∞εf(x)dx=εP{X≥ε} \begin{aligned} E(x)&=\int_{-\infty}^\infty xf(x)dx=\int_{-\infty}^\varepsilon xf(x)dx+\int_{\varepsilon}^\infty xf(x)dx\\ &\geq\int_{\varepsilon}^\infty xf(x)dx \geq\int_{\varepsilon}^\infty \varepsilon f(x)dx = \varepsilon P\{ X\ge\varepsilon \} \end{aligned} E(x)​=∫−∞∞​xf(x)dx=∫−∞ε​xf(x)dx+∫ε∞​xf(x)dx≥∫ε∞​xf(x)dx≥∫ε∞​εf(x)dx=εP{X≥ε}​P{X≥ε}≤E(x)ε P\{ X\ge\varepsilon \} \leq \dfrac{E(x)}{\varepsilon} P{X≥ε}≤εE(x)​

2.切比雪夫不等式

P{∣X−E(X)∣≥ε}=P{[X−E(X)]2≥ε2}≤[X−E(X)]2ε2=D(x)ε2=σ2ε2P{∣X−E(X)∣≥ε}≤σ2ε2  ⟹  P{∣X−E(X)∣<ε}≥1−σ2ε2(马尔科夫不等式) \begin{aligned} P\{|X-E(X)|\ge\varepsilon\} &=P\{[X-E(X)]^{2}\ge\varepsilon^{2}\} \\ \tag{马尔科夫不等式} &\leq\dfrac{[X-E(X)]^{2}}{\varepsilon^{2}} \\ &=\dfrac{D(x)}{\varepsilon^{2}} \\ &=\dfrac{\sigma^{2}}{\varepsilon^{2}} \\ P\{|X-E(X)|\ge\varepsilon\}&\leq\dfrac{\sigma^{2}}{\varepsilon^{2}}\implies \\P\{|X-E(X)|<\varepsilon\}&\geq1-\dfrac{\sigma^{2}}{\varepsilon^{2}} \end{aligned} P{∣X−E(X)∣≥ε}P{∣X−E(X)∣≥ε}P{∣X−E(X)∣<ε}​=P{[X−E(X)]2≥ε2}≤ε2[X−E(X)]2​=ε2D(x)​=ε2σ2​≤ε2σ2​⟹≥1−ε2σ2​​(马尔科夫不等式)

3.切比雪夫大数定理

任意σ>0,lim⁡n→∞P{∣Xˉ−μ∣<ε}=1任意\sigma>0,\lim_{n \to \infty}P\{|\bar{X}-\mu|<\varepsilon\}=1任意σ>0,n→∞lim​P{∣Xˉ−μ∣<ε}=1$$\begin{gathered} 证明: \\ E(\bar{X})=E(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}E(X_i)=\frac{1}{n}\ast n\mu =\mu \end{gathered}$$$$D(\bar{X})=D(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i)=(\frac{1}{n}{)}^2\sum _{i=1}^{n}E(X_i)=\frac{1}{n^2}\ast n{\sigma }^2=\frac{{\sigma }^2}{n}$$1≥P{∣Xˉ−E(Xˉ)∣<ε}=P{∣1n∑i=1nXi−μ∣<ε}≥1−D(Xˉ)ε2=1−σ2nε2→abc1 \begin{aligned} 1&\ge P\{|\bar{X}-E(\bar{X})|<\varepsilon\}=P\{|{1 \over n}\displaystyle\sum_{i=1}^nX_i-\mu|<\varepsilon\}\\ &\geq1-{D(\bar{X}) \over \varepsilon^2}=1-{\sigma^2 \over n\varepsilon^2}\xrightarrow{abc}1 \end{aligned} 1​≥P{∣Xˉ−E(Xˉ)∣<ε}=P{∣n1​i=1∑n​Xi​−μ∣<ε}≥1−ε2D(Xˉ)​=1−nε2σ2​abc​1​

4.伯努利大数定理

设nA为n次独立重复试验中随机事件A发生的次数，是事件A在每次试验中发生的概率，则对任意ε>0成立lim⁡n→∞P{nAn−p∣<ε}=1，即nAn→pp(A)设n_A为n次独立重复试验中随机事件A发生的次数，是事件A在每次试验中发生的概率，则对任意\varepsilon>0成立\\ \lim_{n \to \infty}P\{{n_A \over n}-p|<\varepsilon\}=1， 即{n_A \over n}\xrightarrow{p}p(A) 设nA​为n次独立重复试验中随机事件A发生的次数，是事件A在每次试验中发生的概率，则对任意ε>0成立n→∞lim​P{nnA​​−p∣<ε}=1，即nnA​​p​p(A)

4.辛钦大数定理

lim⁡n→∞P{∣Xˉ−μ∣<ε}=1\lim_{n \to \infty}P\{|\bar{X}-\mu|<\varepsilon\}=1n→∞lim​P{∣Xˉ−μ∣<ε}=1
注：伯努利大数定律指得是，当实验次数很大时，可以用事件发生的频率来代替事件的概率。辛钦大数定律不要求随机变量的方差存在，所以比伯努利大数定律有更广泛的应用范围。切比雪夫大数定律要求随机变量的期望和方差均存在，条件相对严格一些。