死于决斗的数学天才伽罗瓦-人生的有限域

最新推荐文章于 2024-10-30 17:19:00 发布

秦岭熊猫

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分类专栏：杂谈

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伽罗瓦理论是19世纪数学家伽罗瓦在研究代数方程根式求解时引入的概念，为抽象代数学奠定了基础。在密码学中，有限域GF(p^n)尤其是GF(p)和GF(2^n)在椭圆曲线密码体制和其他公钥密码体制中扮演重要角色，提供高强度的加密机制。伽罗瓦的理论和有限域运算不仅在密码学中广泛应用，还对数学的多个领域产生了深远影响。

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伽罗瓦理论的发展历史

网络安全依赖于两种技术。

一是传统意义上的存取控制和授权，如存取控制表技术、口令验证技术等；

二是利用密码技术实现对信息的加密、身份鉴别等。前者从理论和技术上是完全可以攻破的，而后者是有条件的，所以网络安全的核心仍将长期建立在密码学基础之上。椭圆曲线密码体制(ECC: Elliptic Curve Cryptosystem)的安全性依赖于椭圆曲线离散对数问题，是目前已知的公钥体制中强度最高的加密机制。考虑到实现难度以及加密效率，通常选择素域GF(p)、二进制域GF(2n)或最佳扩域(OEF:Optimal Extension Field)等有限域作为ECC的基域，作为实现ECC的先决条件，有限域运算己广泛应用于RSA、ElGamal等著名的公钥密码体制中，在编码理论以及多种签名算法中也大量的应用场景。

在抽象代数中，域是一种可进行加、减、乘和除运算的代数结构。域的概念是数域以及四则运算的推广。域是环的一种。域和一般环的区别在于域要求它的元素可以进行除法运算，这等价于每个非零的元素都要有乘法逆元。同时，在现代定义中，域中元素关于乘法是可交换的。简单来说，域是乘法可交换的除环。乘法非交换的除环则称为体，或者反称域。在过去的定义中，除环被称为“域”，而现代意义上的域被称为“交换域”，包含有限个元素的域被称为有限域。

实际上，域是一个可以在其上进行加、减、乘和除法运算而结果不会超出域的集合。如有理数集合、实数集合、复数集合都是域ÿ