WIKIOI 1213 解的个数题解与分析

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本文详细介绍了如何求解给定条件下的方程组的解个数，通过拓展欧几里得算法求解，并对各种特判情况进行了说明。提供了完整的代码实现。

已知整数x,y满足如下面的条件:

ax+by+c = 0

p<=x<=q

r<=y<=s

求满足这些条件的x,y的个数。

第一行有一个整数n（n<=10），表示有n个任务。n<=10

以下有n行，每行有7个整数，分别为：a,b,c,p,q,r,s。均不超过10⁸。

共n行，第i行是第i个任务的解的个数。

2

2 3 -7 0 10 0 10

1 1 1 -10 10 -9 9

1

19

【算法】：拓展欧几里得

【分析】：

          求ax+by+c=的方程处在p<=x<=q和r<=y<=s中的解个数，加上各种特判。

          首先，转化方程ax+by=-c,求出ax+by=gcd(a,b)的基本解x，y<用拓展欧几里得>，当且仅当gcd(a,b)|-c时，

         因此特判一：当gcd(a,b)|-c不成立时，输出0.然后转化解x，y.对于方程ax+by=-c，其解x1，y1为x1=x/gcd(a,b)*-C,y1=y/gcd(a,b)*-C

         对于其他解，则由方程ax+by=-c→a(x+bt)+b(y-at)=-c,则x2=x1+bt,y2=y1-at <t∈(-∞,∞)且t∈z>，先将基础解的x降至p以下<p>x>，然后以x不越界为标准用while调整t求解即可。

         特判二：若a，b均为0且c为0，则原方程有无数解，然后在范围内的解有(q-p+1)*(s-r+1)。

         特判三：若a，b均为0且c不为0，则无解.

         特判四：除上面情况外若a为0,直接按by=-c来做.

         特判五：除上面情况外若b为0,直接按ax=-c来做。

         注意：①需考虑q>=p且s>=r，否则无解

                     ②：在进入过程前应将a，b除以gcd(a,b)，减小步长

【提交地址】：http://wikioi.com/problem/1213/

【代码】：

[cpp] view plain copy

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
long long N,A,B,C,P,Q,R,S,X,Y;
long long gcd(long long x,long long y){return x%y==0 ? y : gcd(y,x%y);};
void exgcd(long long a,long long b)
{
      if(b==0)
      {
            X=1;
            Y=0;
            return;
      }
      exgcd(b,a%b);
      long long tmp;
      tmp=X;
      X=Y;
      Y=tmp-(a/b)*Y;
}
int main()
{
      //freopen("input.in","r",stdin);
      //freopen("output.out","w",stdout);
      scanf("%lld",&N);
      for(int i=1;i<=N;i++)
      {
            scanf("%lld%lld%lld%lld%lld%lld%lld",&A,&B,&C,&P,&Q,&R,&S);
            if(A==0 && B==0 && C!=0){printf("0\n");continue;}
            if(A==0 && B==0 && C==0){printf("%lld\n",max((long long)0,Q-P+1)*max((long long)0,S-R+1));continue;}//当范围的第二个数-第一个数为负,则无解
            if(A==0)
            {
                  long long sign=0;
                  if(R<=-C/B && -C/B<=S && -C%B==0)   sign=1;
                  printf("%lld\n",max((long long)0,Q-P+1)*sign);
                  continue;
            }
            if(B==0)
            {
                  long long sign=0;
                  if(P<=-C/A && -C/A<=Q && -C%A==0)   sign=1;
                  printf("%lld\n",max((long long)0,S-R+1)*sign);
                  continue;
            }
            exgcd(A,B);
            long long ans=0,GCD=gcd(A,B);

            if(-C%GCD!=0){printf("0\n");continue;}

            X=X*-C/GCD;
            Y=Y*-C/GCD;
            A/=GCD;//减小步长
            B/=GCD;
            if(B<0)   B=-B,A=-A;
            while(P<=X)
            {
                  X-=B;
                  Y+=A;
            }
            while(X<=Q)
            {
                  if(P<=X && X<=Q && R<=Y && Y<=S)   ans++;
                  X+=B;
                  Y-=A;
            }
            printf("%lld\n",ans);
      }
      return 0;
}