hdu 4565 So Easy!(共轭构造+矩阵快速幂)_acm 构造共轭-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/threeh20/article/details/81304865

本文介绍了一种利用矩阵快速幂算法高效求解形如Cn=(a+sqrt(b))^n+(a-sqrt(b))^n的数列的方法。通过构造特定矩阵并运用快速幂算法，可以在对数时间内计算出数列的第n项，适用于解决如HDU ACM 4565等算法竞赛题目。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4565

我们构造这么一个东西

Cn=(a+sqrt(b))^n+(a-sqrt(b))^n

因为是共轭的，所以Cn是一个整数，且因为a*a>b的所以后面那个式子就是一个小于1的数,那么Cn为我们所求.

将 Cn乘上(a+sqrt(b))+(a-sqrt(b))

可以得到 2*a*Cn=Cn+1 + (a*a-b) Cn-1

那么可以得到 Cn+1=2*a*Cn - (a*a-b) Cn-1

就可以构造矩阵快速幂了.... 但是要注意在矩阵运算取模的时候因为b-a*a为负数需要加上一个模数再取模

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct node{
	long long ma[2][2];
};
long long a,b,n,mod;
node operator * (node x,node y)
{
	node c;
	memset(c.ma,0,sizeof(c.ma));
	for(int i=0;i<2;i++)
	{
		for(int j=0;j<2;j++)
		{
			for(int k=0;k<2;k++)
			{
				c.ma[i][j]=(c.ma[i][j]+(x.ma[i][k]*y.ma[k][j])%mod+mod)%mod;
			}
		}
	}
	return c;
}
node  qpow(node x,long long cs)
{
	node ans=x;
	cs--;
	while(cs)
	{
		if(cs&1)
		ans=ans*x;
		x=x*x;
		cs>>=1;
	}
	return ans;
}

int main()
{
    while(scanf("%lld%lld%lld%lld",&a,&b,&n,&mod)!=EOF)
    {
    	node st;
    	st.ma[0][0]=a*2;
    	st.ma[0][1]=b-a*a;
    	st.ma[1][0]=1;
    	st.ma[1][1]=0;
    	st=qpow(st,n);
    	long long ans=(st.ma[1][0]*2*a+st.ma[1][1]*2+mod)%mod;
    	cout<<ans%mod<<endl;

    }
    return 0;
}