BZOJ4720 [Noip2016]换教室 解题报告【SPFA】【期望DP】

Description
对于刚上大学的牛牛来说,他面临的第一个问题是如何根据实际情况申请合适的课程。在可以选择的课程中,有2n节课程安排在n个时间段上。在第i(1≤i≤n)个时间段上,两节内容相同的课程同时在不同的地点进行,其中,牛牛预先被安排在教室ci上课,而另一节课程在教室di进行。在不提交任何申请的情况下,学生们需要按时间段的顺序依次完成所有的n节安排好的课程。如果学生想更换第i节课程的教室,则需要提出申请。若申请通过,学生就可以在第i个时间段去教室di上课,否则仍然在教室ci上课。由于更换教室的需求太多,申请不一定能获得通过。通过计算,牛牛发现申请更换第i节课程的教室时,申请被通过的概率是一个已知的实数ki,并且对于不同课程的申请,被通过的概率
是互相独立的。学校规定,所有的申请只能在学期开始前一次性提交,并且每个人只能选择至多m节课程进行申请。这意味着牛牛必须一次性决定是否申请更换每节课的教室,而不能根据某些课程的申请结果来决定其他课程是否申请;牛牛可以申请自己最希望更换教室的m门课程,也可以不用完这m个申请的机会,甚至可以一门课程都不申请。因为不同的课程可能会被安排在不同的教室进行,所以牛牛需要利用课间时间从一间教室赶到另一间教室。
牛牛所在的大学有v个教室,有e条道路。每条道路连接两间教室,并且是可以双向通行的。由于道路的长度和拥堵程度不同,通过不同的道路耗费的体力可能会有所不同。当第i(1≤i≤n-1)节课结束后,牛牛就会从这节课的教室出发,选择一条耗费体力最少的路径前往下一节课的教室。现在牛牛想知道,申请哪几门课程可以使他因在教室间移动耗费的体力值的总和的期望值最小,请你帮他求出这个最小值。
Input
第一行四个整数n,m,v,e。n表示这个学期内的时间段的数量;m表示牛牛最多可以申请更换多少节课程的教室;
v表示牛牛学校里教室的数量;e表示牛牛的学校里道路的数量。
第二行n个正整数,第i(1≤i≤n)个正整数表示c,,即第i个时间段牛牛被安排上课的教室;保证1≤ci≤v。
第三行n个正整数,第i(1≤i≤n)个正整数表示di,即第i个时间段另一间上同样课程的教室;保证1≤di≤v。
第四行n个实数,第i(1≤i≤n)个实数表示ki,即牛牛申请在第i个时间段更换教室获得通过的概率。保证0≤ki≤1。
接下来e行,每行三个正整数aj,bj,wj,表示有一条双向道路连接教室aj,bj,通过这条道路需要耗费的体力值是Wj;
保证1≤aj,bj≤v,1≤wj≤100。
保证1≤n≤2000,0≤m≤2000,1≤v≤300,0≤e≤90000。
保证通过学校里的道路,从任何一间教室出发,都能到达其他所有的教室。
保证输入的实数最多包含3位小数。
Output
输出一行,包含一个实数,四舎五入精确到小数点后恰好2位,表示答案。你的输出必须和标准输出完全一样才算正确。
测试数据保证四舎五入后的答案和准确答案的差的绝对值不大于4*10^-3。(如果你不知道什么是浮点误差,这段话可以理解为:对于大多数的算法,你可以正常地使用浮点数类型而不用对它进行特殊的处理)
Sample Input
3 2 3 3
2 1 2
1 2 1
0.8 0.2 0.5
1 2 5
1 3 3
2 3 1
Sample Output
2.80
解题报告
这道题的题意是，给你n个时刻，可以申请m次。在第i个应该在c[i]这个教室，可以申请到d[i]这个教室，这个过程要耗费一定的体力值。该申请有p[i]的概率被批准。
问体力值总和的最小期望是多少。
首先我们要算出任意两点之间的最短距离，也就是dis[i][j]，这个我们通过SPFA来实现（据说也可以用弗洛伊德）。然后就是期望DP的部分。
我们设f[i][j][0/1]来表示第i个时刻是否递交了第j份申请的状态下的最小期望。显然这个状态可以通过几个状态转移过来。

f[i][j][0]=min((f[i-1][j][1]+dis[c[i-1]][c[i]])*(1-p[i-1])+(f[i-1][j][1]+dis[d[i-1]][c[i]])*p[i-1])；

其具体意义是在第i个时刻可以通过i-1个时刻递交申请转移过来，而i-1这个时刻递交的申请可能被批准也可能没有被批准；

f[i][j][1]=min((f[i-1][j-1][0]+dis[c[i-1]][c[i]])*(1-p[i])+(f[i-1][j-1][0]+dis[c[i-1]][d[i]])*p[i],
(f[i-1][j-1][1]+dis[c[i-1]][c[i]])*(1-p[i-1])*(1-p[i])+(f[i-1][j-1][1]+dis[d[i-1]][c[i]])*p[i-1]*(1-p[i])+(f[i-1][j-1][1]+dis[c[i-1]][d[i]])*(1-p[i-1])*p[i]+(f[i-1][j-1][1]+dis[d[i-1]][d[i]])*p[i-1]*p[i]);

这个方程式的意义就很多样了。我是这样理解的：在第i个时刻提交第j个申请的状态可以这样转移过来：
1.第i-1个时刻未提交第j-1个申请，因为下课了所以到下一个教室（c[i]）上课，到了第i个时刻提交了申请，没有被批准，这就是

(f[i-1][j-1][0]+dis[c[i-1]][c[i]])*(1-p[i])

2.第i-1个时刻未提交第j-1个申请，因为下课了所以到下一个教室（c[i]）上课，到了第i个时刻提交了申请，该申请被批准，所以到d[i]个教室上课，这就是

(f[i-1][j-1][0]+dis[c[i-1]][d[i]])*p[i])

3.第i-1个时刻提交了j-1个申请，没有被批准，到了第i个时刻提交申请仍然没有被批准，于是就到了第c[i]个教室，这就是

(f[i-1][j-1][1]+dis[c[i-1]][c[i]])*(1-p[i-1])*(1-p[i])

4.第i-1个时刻提交了j-1个申请，被批准了，于是就到了第d[i-1]个教室，到了第i个时刻提交申请仍然没有被批准，于是就到了第c[i]个教室，这就是

(f[i-1][j-1][1]+dis[d[i-1]][c[i]])*p[i-1]*(1-p[i])

5.第i-1个时刻提交了j-1个申请，没有被批准，到了第i个时刻提交申请被批准了，于是就到了第d[i]个教室，这就是

(f[i-1][j-1][1]+dis[c[i-1]][d[i]])*(1-p[i-1])*p[i]

6.第i-1个时刻提交了j-1个申请，被批准了，于是就到了第d[i-1]个教室，到了第i个时刻提交申请被批准了，于是就到了第d[i]个教室，这就是

(f[i-1][j-1][1]+dis[d[i-1]][d[i]])*p[i-1]*p[i])

由于f数组表现的是期望值，我们把他们都加起来就好了。
代码如下：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;
const int V=300;
const int N=2000;
const int E=90000;
const int inf=1e9;
int c[N+5],d[N+5];
int dis[V+5][V+5],flag[V+5];
double p[N+5],f[N+5][N+5][2];
int head[V+5],num;
int n,m,v,e;
double ans=inf;
queue<int> q;
struct edge
{
    int v,w;
    int next;
}ed[4*E+5];
void build(int u,int v,int w)
{
    ed[++num].v=v;
    ed[num].w=w;
    ed[num].next=head[u];
    head[u]=num;
}
void SPFA(int s)
{
    for(int i=1;i<=v;i++)
    flag[i]=0,dis[s][i]=inf;
    while(!q.empty())q.pop();
    q.push(s);
    dis[s][s]=0;
    flag[s]=1;
    while(!q.empty())
    {
        int u=q.front();q.pop();
        flag[u]=0;
        for(int i=head[u];i!=-1;i=ed[i].next)
        {
            int v=ed[i].v;
            if(dis[s][v]>dis[s][u]+ed[i].w)
            {
                dis[s][v]=dis[s][u]+ed[i].w;
                if(!flag[v])
                {
                    flag[v]=1;
                    q.push(v);
                }
            }
        }
    }
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&v,&e);
    memset(head,-1,sizeof(head));
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&c[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&d[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lf",&p[i]);
    for(int i=1;i<=e;i++)
    {
        int u,v,w;
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
        build(u,v,w);
        build(v,u,w);
    }
    for(int i=1;i<=v;i++)SPFA(i);//计算出每两个点间的最短距离 
    for(int i=0;i<=n;i++)
    for(int j=0;j<=m;j++)f[i][j][0]=inf,f[i][j][1]=inf;
    f[1][0][0]=0,f[1][1][1]=0;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    for(int j=0;j<=min(m,i);j++)
    {
        f[i][j][0]=min(f[i][j][0],f[i-1][j][0]+dis[c[i-1]][c[i]]);
        if(j>=1)
        {
            f[i][j][0]=min(f[i][j][0],
                        (f[i-1][j][1]+dis[c[i-1]][c[i]])*(1-p[i-1])+
                        (f[i-1][j][1]+dis[d[i-1]][c[i]])*p[i-1]);
            f[i][j][1]=min(f[i][j][1],
                        (f[i-1][j-1][0]+dis[c[i-1]][c[i]])*(1-p[i])+
                        (f[i-1][j-1][0]+dis[c[i-1]][d[i]])*p[i]);
        }
        if(j>=2)
        {
            f[i][j][1]=min(f[i][j][1],
                        (f[i-1][j-1][1]+dis[c[i-1]][c[i]])*(1-p[i-1])*(1-p[i])+
                        (f[i-1][j-1][1]+dis[d[i-1]][c[i]])*p[i-1]*(1-p[i])+
                        (f[i-1][j-1][1]+dis[c[i-1]][d[i]])*(1-p[i-1])*p[i]+
                        (f[i-1][j-1][1]+dis[d[i-1]][d[i]])*p[i-1]*p[i]);
        }
    }
    for(int i=0;i<=m;i++)
    ans=min(ans,min(f[n][i][0],f[n][i][1]));
    printf("%.2lf",ans);
    return 0;
}