酱懵静的博客

对于一个给定的字符串，如果它的正序和倒序是相同的，则称这样的字符串为 `回文`。例如，对于字符串 “aabaa”，它的倒序也为 “aabaa”，因此它是一个回文；对于字符串 “abba”，它的倒序也为 “abba”，因此它也是一个回文；对于字符串 “abbc”，它的倒序为 “cbba”，因此它不是一个回文。从回文的定义可以看出，回文总是 关于中心对称 的。

汉诺塔问题是理解分治算法最经典的一道题。根据分治算法的思想，第一步我们必须对原问题进行分解。在此之前，对大家进行一个提问：把大象装进冰箱需要几步？答案是：三步。打开冰箱门、把大象装进去、关闭冰箱门。现在我要告诉你，求解汉诺塔问题也是三步。根据汉诺塔游戏的机制我们知道，必须先将第n个盘子移动到C杆上。但如果直接将第n个盘子移动到目标位置又是不行的，因为在这第n个盘子前还有n-1个盘子。此时，我们可以假设有一个函数function()，它可以帮我们将前面n-1个盘子移动到除目标位置以及起始位置外的那个杆子

我们知道，在数学中，数值的大小是没有上限的，但是在计算机中，由于字长的限制，计算机所能表示的范围是有限的，当我们对比较小的数进行运算时，如：1234 + 5678，这样的数值并没有超出计算机的表示范围，所以可以运算。但是当我们在实际的应用中进行大量的数据处理时，会发现参与运算的数往往超过计算机的基本数据类型的表示范围，比如说，在天文学上，如果一个星球距离我们为 100 万光年，那么我们将其化简为公里，或者是米的时候，我们会发现这是一个很大的数。这样计算机将无法对其进行直接计算。可能我们认为实际应用中的大数

生成树是一个连通图G的一个极小连通子图。 包含G的所有n个顶点,但只有n-1条边,并且是连通的。 生成树可由遍历过程中所经过的边组成（有多个）。一个带权连通无向图的生成树中，边的权值之和最小的那棵树叫做此图的最小生成树（唯一）。

后缀数组是处理字符串的有力工具。后缀数组是后缀树的一个非常精巧的替代品，它比后缀树容易编程实现，能够实现后缀树的很多功能且时间复杂度也并不逊色，而且它比后缀树所占用的内存空间小很多。可以说，在信息学竞赛中后缀数组比后缀树要更为实用。

基数排序(Radix Sort)是桶排序的扩展，它的基本思想是：将整数按位切割成不同的数字，然后按每个位数分别比较（位操作）。具体做法是：将待排序序列中的所有数字统一为同一数位长度，数位较短的数前面补零（比如对于序列{1,23,456}而言，需要将这序列格式化为{001,023,456}）。然后从最低位开始，依次排序，直到最高位排序完成以后, 数列就变成一个有序序列。

并查集是一种树型的数据结构，用于处理一些不相交集合的合并及查询问题（即所谓的并、查）。比如说，我们可以用并查集来判断一个森林中有几棵树、某个节点是否属于某棵树等。并查集主要由一个整型数组pre[ ]和两个函数find( )、join( )构成。数组 pre[ ] 记录了每个点的前驱节点是谁，函数 find(x) 用于查找指定节点 x 属于哪个集合，函数 join(x,y) 用于合并两个节点 x 和 y 。

背包问题分为多种，其中最常见的主要是三类：01背包、完全背包、多重背包。这里面最经典的是01背包问题，它基本上已经成为了事实上的动态规划入门级必学算法。下面，我们将对上述的三类背包问题逐个分析。

有一个由数字组成的规格为 n×m 的矩阵，初始在左上角，要求每次只能向下或向右移动，问该数字矩阵从最左上角到最右下角的最小路径和是多少？（路径和就是将某路径中的所有权值全部加起来的总和）

在数学上，斐波纳契数列以如下递归方式被定义：F(0)=0，F(1)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N+）根据定义，其前十项为1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55假设现在给出一个编程问题：输入一个自然数n，要求输出斐波那契数列的第n项（0≤n≤1000000）如果我们根据定义来求解本题，那么...

高中时曾学过数列的前n项和Sn，即若存在一组数列{ a~1~，a~2~，a~3~，…，a~n~ }，则Sn = a~1~+a~2~+a~3~+…+a~n~，在计算机领域，我们把Sn称为“前缀和”。我们知道，对于m(m

树状数组是一个查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构，主要用于数组的单点修改以及区间求和。比如说对于某个数组a[0],a[1],a[2],……,a[n]，若现在要求动态地对区间[x1,x2]进行求和，我们每次在给出了x1和x2的值后都将执行：for(int i=x1;i

博弈论之SG博弈SG博弈的命名源于SG函数和SG定理，而SG函数的出现则来自于一个简单的取石子游戏：有1堆n个的石子，每次只能取{1,3,4}个石子，先取完石子者胜利，判断对于不同的n，先手能否取胜？分析：这个游戏和巴什博弈的不同在于：SG博弈中取东西是无规则不连续的，而巴什博弈中取东西则是连续的因此在讨论SG博弈时要复杂很多，在解答SG博弈类题目时我们需要用到SG函数SG函数：首...

博弈论之反尼姆博弈反尼姆博弈：有任意堆物品，每堆物品的个数是任意的，双方轮流从中取物品，每一次只能从一堆物品中取部分或全部物品，最少取一件，取到最后一件物品的人失败。下面直接给出反尼姆博弈中判断必胜局的条件，满足其中任意一点都能取胜：1.各堆物品数目异或结果不等于0，且存在有石子数目大于1的物品堆2.各堆物品数目异或结果等于0，且所有物品堆数目全部为1---经典题型---问题...

博弈论之尼姆博弈尼姆博弈（Nimm Game）:有任意堆物品，每堆物品的个数是任意的，双方轮流从中取物品，每一次只能从一堆物品中取部分或全部物品，最少取一件，取到最后一件物品的人获胜。分析：我们先来看假设有三堆物品时的情况这种情况最有意思，它与二进制有密切关系，我们用（a，b，c）表示某种局势，则前几种奇异局势如下：第一种是（0，0，0），此时无论是谁面对该局势，都必败第二种是（0，...

博弈论之威佐夫博弈威佐夫博弈（Wythoff’s game）：有两堆各若干个物品，两个人轮流从任一堆取至少一个或同时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。这种情况下是颇为复杂的。我们用（a[k]，b[k]）（a[k] ≤ b[k] ,k=0，1，2，…,n)表示两堆物品的数量并称其为局势，如果甲面对（0，0），那么甲已经输了，这种局势我们称为奇异局势。前几个奇...

博弈论之巴什博弈巴士博弈：有一堆n个物品，两个人轮流从这堆物品中取物，规定每次至少取一个，最多取m个(m<n)。最后取光者得胜。显然，如果n=m+1，那么由于一次最多只能取m个物品，所以无论先取者拿走多少个，后取者都能够一次拿走剩余的物品，故后者必然取胜。根据这样的规律，我们发现了如何取胜的法则：如果n=（m+1）r+s，（r为任意自然数,0≤s≤m)，那么先取者首先拿走s个...

图的遍历（二、广度优先搜索BFS）宽度优先搜索(BFS, Breadth First Search)是一个针对图和树的遍历算法。发明于上世纪50年代末60年代初，最初用于解决迷宫最短路径和网络路由等问题。对于下面的树而言，BFS方法首先从根节点1开始，其搜索节点顺序是1,2,3,4,5,6,7,8。BFS使用队列(queue)来实施算法过程，队列(queue)有着先进先出FIFO(Firs...

图的遍历（三、深度优先搜索DFS）深度优先搜索(DFS, Depth First Search)是一个针对图和树的遍历算法。早在19世纪就被用于解决迷宫问题。对于下面的树而言，DFS方法首先从根节点1开始，其搜索节点顺序是1,2,3,4,5,6,7,8（假定左分枝和右分枝中优先选择左分枝）。DFS的实现方式相比于BFS应该说大同小异，只是把queue换成了stack而已，stack具有后...

迷宫的最短路径问题描述给定一个大小为N×M的迷宫。迷宫由通道和墙壁组成，每一步可以向邻接的上下左右四个的通道移动。请求出从起点到终点所需的最小步数。请注意，本题假定从起点一定可以移动到终点。（N,M≤100）（’#’, ‘.’ , ‘S’, 'G’分别表示墙壁、通道、起点和终点）样例输入：10 10#S######.#…#…#.#.##.##.#.#…##.##.####…#...

图的遍历（一、概论）图建构好后，针对具体的问题，我们常常需要通盘的读取图中的信息，包括顶点（vertex）和边（edge），以及它们之间的关系。这种读取图中所有信息的方法就是图的遍历（traversal），也称为搜索（search），就是从图中某个顶点出发，沿着一些边访问图中所有的顶点，且使每个顶点仅被访问一次。遍历是很多图论算法的基础。遍历需要决定从哪里开始读，依照什么顺序读，要读到哪里为...