10、数学证明与归纳法深入解析

数学证明与归纳法深入解析

1. 差分算子与求和公式

差分算子 $\Delta$ 定义为：若 $a_1, a_2, \cdots$ 是一个数列，则 $\Delta a_n = a_{n + 1} - a_n$。当 $\Delta a_n = b_n$ 时，有 $b_1 + b_2 + \cdots + b_n = a_{n + 1} - a_1$，这与微积分公式 $\int_{c}^{d} f(x)dx = g(d) - g(c)$（其中 $Dg = f$，$D$ 为导数算子）类似，这里求和被积分替换，$\Delta$ 被导数替换。

下面通过几个例子展示其应用：
- 例 1：求 $1 + 2 + 3 + \cdots + n$ 的公式
设 $a_n = n^2$，则 $\Delta a_n = a_{n + 1} - a_n = (n + 1)^2 - n^2 = 2n + 1$。
令 $b_n = 2n + 1$，根据 $b_1 + b_2 + \cdots + b_n = a_{n + 1} - a_1$，可得：
$\sum_{k = 1}^{n}(2k + 1) = (n + 1)^2 - 1^2 = n^2 + 2n$。
而 $\sum_{k = 1}^{n}(2k + 1)=2\sum_{k = 1}^{n}k+\sum_{k = 1}^{n}1 = 2\sum_{k = 1}^{n}k + n$，所以 $2\sum_{k = 1}^{n}k + n = n^2 + 2n$，解得 $\sum_{k = 1}^{n}k=\frac{n(n + 1)}{2}$。
- 例 2：求 $