27、梯度下降算法的优化与相关技术解析

梯度下降算法的优化与相关技术解析

1. 梯度下降算法概述

梯度下降是一种常用的优化算法，用于寻找函数的局部最小值。在训练神经网络时，它通过迭代更新参数，使得损失函数的值逐渐减小。然而，传统的梯度下降算法存在一些问题，例如在某些情况下收敛速度较慢，或者无法收敛到最优解。为了解决这些问题，人们提出了多种改进的梯度下降算法。

2. Nesterov加速梯度

2.1 动量梯度下降的问题

动量梯度下降在算法处于最陡下降路径时，梯度会不断累积，动量向量可能会变得越来越大。当算法接近局部最小值时，由于动量过大，可能会跳过局部最小值，导致算法需要更长的轨迹才能到达局部最小值。

2.2 Nesterov加速梯度的原理

Nesterov加速梯度通过计算下一步参数的梯度来缓解上述问题。具体来说，$\theta_t + \gamma \nu_{t - 1}$ 大致告诉我们下一步的位置。基于这个想法，Nesterov加速梯度的更新规则定义为：
$\nu_t = \gamma \nu_{t - 1} - \alpha \nabla J(\theta_t + \gamma \nu_{t - 1})$
$\theta_{t + 1} = \theta_t + \nu_t$

通过将普通动量梯度下降的更新规则改为Nesterov加速梯度，算法可以对下一步有一个预判，并在错误发生之前进行纠正。Nesterov梯度下降的轨迹比动量梯度下降更短，但仍然存在一些问题。

2.3 实现步骤

实现Nesterov加速梯度很简单，只需将之前代码中的第56 - 58行替换为以下语