3、病态问题的深入解析与处理方法

病态问题的深入解析与处理方法

1. 盲反卷积作为病态问题

盲反卷积问题本质上难以解决。当点扩散函数（PSF）已知时，反卷积本身就是一个难题，因为它属于逆问题。在大多数逆问题中，求解困难源于正向过程中部分信息丢失，使得反演任务艰巨。

1.1 图像形成过程与积分方程

在假设线性和位移不变的条件下，连续域中的图像形成方程为：
[y(u, v) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} k(u - u_1, v - v_1)x(u_1, v_1)du_1dv_1]
在图像恢复中，需要从(y(u, v))的含噪版本估计(x(u, v))，这相当于求解上述积分方程，它是第一类Fredholm积分方程，其一维一般形式为：
[\int_{a}^{b} K(u, v)x(v)dv = y(u)]
其中(x(\cdot))是待求解的未知函数，(K(u, v))是核函数，(y(u))是已知函数。

1.2 积分算子的性质与解的不稳定性

可以证明，上述类型的积分算子是紧算子。若有希尔伯特空间(H)和线性算子(A: X \to Y)，当存在(H)的正交基((v_n))使得(\sum_{n} | A(v_n) |^2 < 1)时，(A)称为希尔伯特 - 施密特算子。有界线性算子若为希尔伯特 - 施密特算子，则它是紧算子。

已知定理：设(X)和(Y)是赋范空间，(A: X \to Y)是紧线性算子，若(X)是无限维的，则(A)没有有界逆。由此可知，上述积分方程的逆算子不连续，导致解不稳定，问题成为病态问题。

另一种观察解不