8、离散傅里叶变换与快速傅里叶变换及其在偏微分方程中的应用

离散傅里叶变换与快速傅里叶变换及其在偏微分方程中的应用

1. 离散傅里叶变换（DFT）与快速傅里叶变换（FFT）概述

在处理连续函数的傅里叶级数和傅里叶变换时，当涉及到实际数据的计算，需要对离散数据向量进行傅里叶变换的近似。由此产生的离散傅里叶变换（DFT）本质上是对函数 $f(x)$ 以规则间隔 $\Delta x$ 离散化后得到的数据向量 $f = [f_1, f_2, f_3, \cdots, f_n]^T$ 的傅里叶级数的离散化版本。

DFT 对于数值近似和计算非常有用，但当 $n$ 非常大（$n \gg 1$）时，其简单的公式涉及与一个密集的 $n \times n$ 矩阵相乘，需要 $O(n^2)$ 次运算，扩展性不佳。1965 年，James W. Cooley 和 John W. Tukey 开发了革命性的快速傅里叶变换（FFT）算法，其运算复杂度为 $O(n \log(n))$。随着 $n$ 变得非常大，$\log(n)$ 部分增长缓慢，算法接近线性缩放。FFT 算法基于傅里叶变换中的分形对称性，允许通过多次低维 DFT 计算来解决 $n$ 维 DFT。

值得注意的是，Cooley 和 Tukey 并非 FFT 思想的发明者，此前已有数十年的相关特殊情况的研究，但他们提供了目前使用的通用公式。令人惊讶的是，FFT 算法早在 1805 年就由高斯为了从测量数据中近似小行星 Pallas 和 Juno 的轨道而提出，当时他需要一个高精度的插值方案。由于高斯是在头脑中进行计算并记录在纸上，他需要一个快速算法，从而开发了 FFT。然而，高斯并未将其视为重大突破，他的公式直到 1866 年才在他的汇编笔记中出现，而且高斯的发现甚至早于 1807 年傅里叶宣布的傅里叶级数展开（该展