线性规划(1)

基础

基础概念

$$\begin{gathered} Minimize(z=3x+2y)subjectto: \\ \begin{array}{rl}x+2y& \ge 4\\ 2x-y& \le 2\\ x& \ge 0\\ y& \ge 0\end{array} \end{gathered}$$

上面的minimize部分叫做目标函数
使用上面不等式约束的范围中的值进行，叫做feasible solution
例如上面的x, y, z取1,1,4就是一个feasible solution
所有feasible solution的集合叫做feasible region
如果一个feasible solution得到了一个目标函数的最优值，那么叫做optimal solution

没有解的称之为no feasible solution，比如要求$x\ge 1,x\le 0$，这种问题也称之为infeasible。

线性规划理论基础

如果可以使用线性规划求解，那么下面的几个条件会满足其中一个:

LP is infeasible

LP is unbounded

LP has an optimal solution

如果是infeasible，那么就不可能是unbounded的，同样也不会有optimal solution。
如果是一个feasible solution，那么就不可能是infeasible，也不会有optimal solution

既不是infeasible 也不会unbounded，那么就有可能一个optimal solution

一个极端的例子

$$\begin{gathered} Minimize(e^{-x})subjectto: \\ \begin{array}{rl}x& \ge 0\end{array} \end{gathered}$$
上面的问题不是infeasible，也不是unbounded，但是0永远也得不到，无法取得最优值。