最大公约数问题

本文展示了一个使用递归实现的最大公约数(GCD)算法的C++代码示例。该程序通过输入两个整数并调用gcd函数来计算它们的最大公约数。
#include <iostream>
using namespace std;


int gcd(int x, int y){
	return (!y)?x:gcd(y, x%y);
}


int main()
{
	int x = 42;
	int y = 30;
	int x_y = gcd(x,y);
	cout<<x_y<<endl;
	system("pause");
	return 0;
}


内容概要:本文系统阐述了Java Persistence API(JPA)的核心概念、技术架构、核心组件及实践应用,重点介绍了JPA作为Java官方定义的对象关系映射(ORM)规范,如何通过实体类、EntityManager、JPQL和persistence.xml配置文件实现Java对象与数据库表之间的映射与操作。文章详细说明了JPA解决的传统JDBC开发痛点,如代码冗余、对象映射繁琐、跨数据库兼容性差等问题,并解析了JPA与Hibernate、EclipseLink等实现框架的关系。同时提供了基于Hibernate和MySQL的完整实践案例,涵盖Maven依赖配置、实体类定义、CRUD操作实现等关键步骤,并列举了常用JPA注解及其用途。最后总结了JPA的标准化优势、开发效率提升能力及在Spring生态中的延伸应用。 适合人群:具备一定Java基础,熟悉基本数据库操作,工作1-3年的后端开发人员或正在学习ORM技术的中级开发者。 使用场景及目标:①理解JPA作为ORM规范的核心原理与组件协作机制;②掌握基于JPA+Hibernate进行数据库操作的开发流程;③为技术选型、团队培训或向Spring Data JPA过渡提供理论与实践基础。 阅读建议:此资源以理论结合实践的方式讲解JPA,建议读者在学习过程中同步搭建环境,动手实现文中示例代码,重点关注EntityManager的使用、JPQL语法特点以及注解配置规则,从而深入理解JPA的设计思想与工程价值。
# 题目重述 输入两个正整数,计算它们的最大公约数GCD)。例如:36 和 24 的最大公约数为 12。 使用**辗转相除法**(欧几里得算法)实现。 --- # 详解 我们来一步一步解释这个“最大公约数问题的解法。 --- ### ✅ 什么是最大公约数? > **最大公约数GCD)**:两个数中**最大的公共因数**。 比如: - 36 的因数:1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 - 24 的因数:1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 → 公共因数有:1, 2, 3, 4, 6, 12 → 最大的是 **12**,所以 $\gcd(36, 24) = 12$ --- ### 🔍 如何高效求 GCD?用“辗转相除法” 也叫**欧几里得算法**,核心思想是: > $$\gcd(m, n) = \gcd(n, r)$$ 其中 $r = m \% n$(即 $m$ 除以 $n$ 的余数) 不断用“除数”和“余数”进行替换,直到余数为 0,此时的除数就是最大公约数。 --- ### 🔄 算法过程演示:以 $m=36$, $n=24$ 为例 | 步骤 | 计算 | 说明 | |------|------|------| | 1 | $36 ÷ 24 = 1$ 余 $12$ → $r = 12$ | 更新:$m = 24$, $n = 12$ | | 2 | $24 ÷ 12 = 2$ 余 $0$ → $r = 0$ | 余数为 0,停止! | ✅ 此时 $n = 12$,就是最终结果 → 输出 `12` --- ### 💡 为什么这个方法有效? 因为: - 两个数的最大公约数,等于其中较小数与它们余数的最大公约数。 - 比如:$\gcd(36,24) = \gcd(24,12) = \gcd(12,0)$ - 当第二个数变成 0 时,第一个数就是 GCD。 📌 类似“剥洋葱”,一层层缩小问题规模。 --- ### ✅ C语言代码实现(来自文档) ```c #include <stdio.h> int main() { int m, n, r; scanf("%d %d", &m, &n); // 输入两个正整数 while ((r = m % n) != 0) { // 取余,判断是否为0 m = n; // 辗转迭代:m ← n n = r; // n ← r } printf("%d\n", n); // 此时 n 就是最大公约数 return 0; } ``` --- ### 🧠 代码逻辑解析 1. **输入两个数**:`m` 和 `n` 2. **进入循环**:计算余数 $r = m \% n$ - 如果 $r \ne 0$:继续迭代 - 把 `n` 赋给 `m` - 把 `r` 赋给 `n` - 如果 $r = 0$:跳出循环,当前 `n` 就是 GCD 3. **输出 `n`** --- ### 🧪 举个例子:$m=48$, $n=18$ | 迭代次数 | m | n | r = m % n | 是否继续 | |----------|----|----|-----------|----------| | 初始 | 48 | 18 | 12 | 继续 | | 1 | 18 | 12 | 6 | 继续 | | 2 | 12 | 6 | 0 | 停止 | → 输出 `6` ✅ --- ### ⚠️ 注意事项 - 输入必须是正整数。 - 如果输入顺序颠倒(比如 $m < n$),也没关系,第一次取余会自动交换角色: - 比如 $m=12, n=36$ → $12 \% 36 = 12$ → 下一轮变成 $m=36, n=12$,正常继续。 --- # 知识点 - **最大公约数定义**:两个数中共有的最大因数,记作 $\gcd(m,n)$。 - **辗转相除法原理**:基于 $\gcd(m,n) = \gcd(n, m\%n)$ 的数学性质。 - **模运算应用**:通过取余不断缩小数值,快速逼近结果。
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